格林函数以及拉普拉斯方程研讨.doc

格林函数 格林函数的概念及其物理意义 格林函数法是求解导热问题的又一种分析解法。 从物理上看，一个数学物理方程是表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系。例如，热传导方程表示温度场和热源之间的关系，泊松方程表示静电场和电荷分布的关系，等等。这样，当源被分解成很多点源的叠加时，如果能设法知道点源产生的场，利用叠加原理,我们可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数学物理方程的方法就叫格林函数法.而点源产生的场就叫做格林函数。 空间变量的三维δ函数δ在直角坐标系中等同于三个坐标量的δ函数的乘积，即δδδ。这样，τ′时刻作用在空间某一点r′、强度在数量上等于ρc[J]的瞬时点热源可写作 或在直角坐标系中表示为 因此，作用在处的强度为ρc的瞬时面热源应为ρcδδ（τ—τ′）。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布 称为格林函数。其中自变量第一部分表示该温度分布是空间坐标r和时间τ的函数，第二部分r′和τ′表示瞬时点热源的位置和释放时间。 大平壁中的非稳态导热 首先从一个简单的一维稳态问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x）和内热源，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流的作用。该问题的数学描述为 首先该导热系统的格林函数G，它满足以下的辅助问题： τ′时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应维持为0，而τ′时刻的瞬时热源的作用等同于τ′时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为 一半空间阈中的格林函数法 拉普拉斯变换求解非稳态导热 拉普拉斯变换的基本概念 定义 为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为： 称为拉氏变换的原函数，称为的象函数。式中s可以是重复变量。 拉普拉斯变换存在的基础就是： 拉普拉斯变换的基本性质 由拉普拉斯变换法求解导热问题时，首先得到的是象函数，要通过反变换才能得到温度分布的表达式。许多象函数的反变换可以从拉普拉斯变换中查得。为了充分发挥已有变换表的作用，要注意应用拉普拉斯变换的有关定理。 由于象函数的多样性和复杂性，有时不可能从变换表中直接求得所需的反变换。这时，就得自己进行反变换运算，部分分式法和回路积分法。 杜哈美尔定理 求解边界条件和热源项随时间变化的热传导问题与求解边界条件和热源项不随时间变化的同一热传导问题之间的关系，可以通过杜哈美尔定理把它们联系起来。 杜哈美尔定理的表述参见ppt。