静电场中的镜像法与分离变量法研讨.doc

静电场中的镜像法与分离变量法 摘要：静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方 程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解；同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论；深入理解镜像法和分离变量法及其特征。 关键词：静电场、镜像法、分离变量法。 The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method in the Electrostatic Field Abstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric charge distribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers to deeply understand the methods of mirror image and separate variational methods and their characteristics by doing contrast discussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method. 1、引言：静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定 边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。很多文章已经就界面形状是比较简单的几何曲面的这类问题给出了解析形式的求解，这种解析形式求解的常用方法分别是镜像法和分离变量法。本文在应用此方法求解边值问题的探讨基础上，进一步地就镜像法和分离变量法的应用进行对比和讨论。 2、静电场中的静像法与分离变量法的介绍 i)、镜像法 拉普拉斯方程仅适用于求解区域没有自由电荷分布。若求解区域有自由电荷分布，则必须求解泊松方程；一种重要的特殊情形是区域内只有一个或几个点电荷，区域边界是导体或介质界面。下面介绍解这类问题的一种特殊方法――镜像法，镜像法也是电动力学中一种很重要的方法。在区域特殊情形下，许多复杂的问题使用该方法求解都会很简洁方便。 镜像法的基本思想：如果在原电荷产生的电场中存在着导体或介质分界面，则由于静电感应或极化作用，在导体和介质分界面上将出现感应或极化电荷，在我们研究的区域之外，用一些假想的电荷来代替场问题的边界，如果这些电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件；那么，它们的电位叠加起来，便得到我们所要求的电位解，这种方法就称为镜像法，假想电荷就是镜像电荷。 ii)、分离变量法 静电学的基本问题就是求给定边界条件下的泊松方程的解；如果在所研究的区域内，没有自由电荷分布，即： ρ(x)=0 因而泊松方程变成： ?2?=0 (拉普拉斯方程) 那么区域内的场分布是通过区域边界条件反映出来的,该类问题有一种非常重要的解析方法——分离变量法。分离变量法是数理方程中应用最广泛的一种方法，是解拉普拉斯方程的最基