20150104--复习(典型例题)解答.ppt

计算方法复习 零 绪论 一 插值与逼近 所以，关于a０，a１为未知数的法方程组为 二 数值积分 用一般迭代法求方程x-lnx＝2在区间(2, ?)内的根， 要求|xk-xk-1|/|xk|=10-8 k xi 0 3.000000000 1 3.098612289 2 3.130954362 3 3.141337866 4 3.144648781 一般的n阶平面旋转矩阵 任意取定初始向量x0 当 时 为使RTAR为对角阵，要求b12=b21=0 解之得: 当 时 可选取 例3 设矩阵 试作矩阵A=QR分解。 * 典型概念例题 误差及算法 误差 算法 分类 度量 传播 舍入 截断 绝对 相对 有效数字 一元函数 n元函数 插值法 工具 多项式插值 分段多项式插值 差商 差分 插值基函数 存在唯一性 误差估计 插值公式 Hermite插值 分段线性 分段三次Hermite插值 三次样条插值 函数逼近 预备知识 函数逼近方法 范数 内积 正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 最小二乘拟合 三角函数逼近 帕德逼近 求g(x)=??x 在P1[0,1]中的最佳平方逼近元 解法一 这是C[0,1]上的最佳平方逼近问题. 取?０＝１, ?１＝x, P1[0,1]＝span{1,x} 记 p1(x)=a０＋a１x (?０,?0)=1，(?０,?1)=1/2， (?1,?1)=1/3 ， (?０,g)=2/3， (?1,g)=2/5. 例1 解得a０=4/15，a１＝4/5 为P1[0,1]中对g(x)= ??x的最佳平方逼近元. 即p1(x)=4/5x+4/15 例1 观测物体过原点的直线运动,得到所示数据,求运动方程. 110 80 50 30 10 0 距离s/m 5.0 3.9 3.0 1.9 0.9 0 时间t/s 解 作直线模型: at+s=0 n为观测点数 定义残差向量: 所以: 令: 所求运动方程为: 数值积分 基本概念 Gauss求积公式 代数精度 插值型求积公式 收敛及稳定性 数值求积思想 N-C公式 Romberg求积公式及外推加速 梯形公式 辛普森公式 例2 试确定常数A,B,C及α,使求积公式: 解 代数精确度尽可能高，并确定上述公式的代数精确度。是否为高斯型求积公式. 令: 整理得: 所以代数精确度为5次. 因为代数精确度为2×3=5次,是高斯型求积公式. 三 线性方程组 直接法 Gauss消去法 矩阵三角分解法 向量和矩阵范数 追赶法 矩阵条件数 三 线性方程组 迭代法 基本概念 雅可比迭代 迭代收敛速度 高斯-塞德尔迭代 迭代格式 收敛条件 SOR迭代 例3 解 设线性方程组 的系数矩阵为: (1)写出Jacobi 迭代法的迭代格式 (2)确定a的取值范围，使方程组对应的Gauss-Seidel迭代收敛。 (1) 线性方程组 Jacobi 迭代 (2) 线性方程组 Gauss-Seidel迭代矩阵: 令 得 四 非线性方程求根 求根法 二分法 不动点迭代法及收敛性理论 牛顿迭代法 插值型迭代 弦截法 抛物线法 令f(x)=x-lnx-2 f(2)0, f(4)0,故方程在(2,4)内至少有一个根 又 x ∈(2, ?) 因此f(x)=0在(2, ?)内仅有一个根x* 将方程化为等价方程：x＝2＋lnx x ∈(2, 4) 例5 解 因此，? x0?(2, ?), xk+1＝2＋lnxk产生的序列? xk ? 收敛于x* 取初值x0＝3.0,计算结果如下： 5 3.145702209 6 3.146037143 7 3.146143611 8 3.146177452 9 3.146188209 10 3.146191628 11 3.146192714 12 3.146193060 13 3.146193169 14 3.146193204 另一种迭代格式 0 3.000000000 1 3.147918433 2 3.146193441 3 3.146193221 五 常微分方程数值解 数值解法 单步法 线性多步法 方程组与高阶方程 重要概念 重要构造方法 局部截断误差 方法精度 差分构造 泰勒展式构造 积分构造 例5 解 给定求解常微分方程初值问题 的线性多步公式 试确定系数 并推导其局部截断误差主项。 使它具有尽可能高的精度， 线性多步公式局部截断误差 此时: 令: 得: 所以当: 为三阶多步公式. 局部截断误差主项为: 六 特征值特征向量 特征值及特征向量解法 迭