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量子力学补充习题集 物理系理论物理教研室 2010年3月 第一章 量子力学的实验基础 1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。 1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1，假设太阳平均辐射波长是5500，问这相当于多少光子？ 1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的百分比有多大？ 1-4 用波长为2790和2450的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。 1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？ 1-6 康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为 其中m为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角） 1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。 1-8 能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？ 1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？ 1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。 1-11 讨论受热He原子束为简单立方晶格（?）所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。 第二章 波函数和薛定谔方程 2-1 设粒子的波函数为，求在（）范围内发现粒子的几率。 2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：。试表出在球壳（）中找到粒子的几率。 2-3 沿直线运动的粒子的波函数。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易发现粒子，而该处的几率密度为何？ 2-4 作一维运动的粒子处在的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说明如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？ 2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态？ （1） （2） （3）。 2-6 由下列定态波函数计算几率流密度：（1） （2）从所得的结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（向原点）传播的球面波 2-7如在势能上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。 2-8 设体系的波函数为，式中，和为常数。为使此波函数满足定态薛定谔方程，应是怎样的函数？ 2-9 设和是薛定谔方程的两个解，证明与时间无关。 第三章 简单体系定态薛定谔方程的解 3-1 设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？ 3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1?，试求：（1）两个最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。 3-3 试将一维自由粒子的定态波函数和组合成具有确定宇称的波函数。 3-4 对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1， （取E＞U0） 3-5 一束粒子入射在一窄势垒（）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。 3-6 用以下一维势场模型：来研究金属电子的发射，求E0时的透射系数D。 3-7一势垒的势能为 式中U0，A，a均为正数。试估算AEU0+A的粒子穿过这个势垒的几率。 3-8 对于谐振子的基态，计算粒子在经典振幅以外出现的几率。 3-9 对于谐振子的第一激发态，（1）求振子出现几率最大的位置；（2）求经典振幅A；（3）计算振子在经典振幅以外出现的几率。 3-10 设质点为m的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级和波函数。 3-11 将一维谐振子置于额外的均匀力场中，势能成为，求能级的变化。 3-12 粒子在势能为 的势场中运动（U1＜U2），在U1，U2＞E下，求解粒子的能级和波函数。 3-13 给定U(x)=–U