分式函数的图像与性质研讨.doc

高一数学选修课系列讲座（一） -----------------分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如的函数称为分式函数。如，，等。 2、分式复合函数 形如的函数称为分式复合函数。如，，等。二、学习探究 探究任务一：函数的图像与性质 问题1：的图像是怎样的？ 例1画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 小结的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助分离常数的处理方法。 分式函数的图像与性质 （1）定义域： ；（2）值域：； （3）单调性：单调区间为； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示 问题2：的图像是怎样的？ 例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 小结分式函数的图像与性质： （1）定义域：；（2）值域：； （3）奇偶性：； （4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数； （5）渐近线：以轴和直线为渐近线； （6）图象：如右图所示 例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 结合刚才的两个例子，与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？ 小结的图像如下： （i） (ii) (iii) (iv) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。 探究任务二：函数的图像与性质 问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？ 思考：函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？ 小结对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如： 1、若则的最小值是2、函数的值域是3、已知内单调递减，实数的取值范围、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围已知在区间单调递减，求的取值范围 7、函数的值域是、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的定下界．若，则函数在上的定下界__________．、设． （1）当时，求的最小值；（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。 、已知函数的定义域为（为常数）. （1）证明：当时，函数在定义域上是减函数； （2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值 11、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数的取值范围。 12、已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数在上是增函数（1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数，求实常数的值； （2）设常数，求函数的最大值和最小值 分式函数的图像与性质 一、概念提出 1、分式函数的概念 形如的函数称为分式函数。如，，等。 2、分式复合函数 形如的函数称为分式复合函数。如，，等。 二、学习探究 探究任务一：函数的图像与性质 问题1：的图像是怎样的？ 例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。 【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示： 由此可以画出函数的图像，如下： 单调减区间：； 值域：； 对称中心：。 【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？ 【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。 分式函数的图像与性质 （1）定义域： ； （2）值域：； （3）单调性：单调区间为； （4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点； （5）奇偶性：当时为奇函数； （6）图象：如图所示 问题2：的图像是怎样的？ 例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。 【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：； 根据单调性定义，可以求出的单调区间 增区间： 减区间： 函数的值域为： 函数的奇偶性：奇函数 函数图像的渐近线为： 函数的图像如下： 【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】