【南方新课堂】2016年高考数学总复习第九章概率与统计第6讲离散型随机变量的均值与方差理素材.ppt

* 第6讲 离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能 计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问 题. 1.离散型随机变量的均值和方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为： 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X 2.均值和方差的性质 设 a，b 是常数，随机变量 X，Y 满足 Y＝aX＋b， aE(X)＋b 则 E(Y)＝E(aX＋b)＝____________， D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X). 0.4 0.2 0.4 P 3 2 1 ξ 3.两点分布及二项分布的均值和方差 p np (1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝______，D(X)＝p(1－p). (2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝________，D(X)＝np(1－p). 1.已知随机变量ξ的分布列是： B 则 D(ξ)＝( ) A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2 q p P 1 0 ξ D 2.已知ξ的分布列为： A.E(ξ)＝p，D(ξ)＝pq B.E(ξ)＝p，D(ξ)＝p2 C.E(ξ)＝q，D(ξ)＝q2 D.E(ξ)＝1－p，D(ξ)＝p－p2 其中 p∈(0,1)，则( ) 3.已知 X 的分布列如下表，设 Y＝2X＋1，则 Y 的数学期望 是( ) B C 考点 1 离散型随机变量的均值 例 1：(2014 年天津)某大学志愿者协会有 6 名男同学，4 名 女同学.在这 10 名同学中，3 名同学来自数学学院，其余 7 名同 学来自物理、化学等其他互不相同的 7 个学院.现从这 10 名同 学中随机选取 3 名同学到希望小学进行支教活动(每位同学被选 到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同的学院的概率； (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望. 解：(1)设“选出的 3 名同学是来自互不相同的学院”为事 件 A，则 所以随机变量 X 的分布列为： 【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为： 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列，可直接套用公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 求其均值.随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽 取，只要找准随机变量及相应的概率即可计算. pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X 【互动探究】 1.(2013 年广东)已知离散型随机变量 X 的分布列为： A 则 X 的数学期望 E(X)＝( ) 考点 2 离散型随机变量的方差 例 2：(2013 年浙江)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球 2 分， 取出 1 个蓝球得 3 分. (1)当 a＝3，b＝2，c＝1 时，从该袋子中任取 2 个球(有放 回，且每个球取到的机会均等)，记随机变量ξ为取出这 2 个球 所得分数之和，求ξ的分布列； (2)从该袋子中任取 1 个球(且每个球取到的机会均等)，记 b∶c. 解：(1)由已知，得当两次取出的球分别是红红时，ξ＝2， 当两次取出的球分别是红黄，或黄红时，ξ＝3， 当两次取出的球分别是黄黄，红蓝，或蓝红时，ξ＝4， 当两次取出的球分别是蓝蓝时，ξ＝6， 所以ξ的分布列是： 当两次取出的球分别是黄蓝，或蓝黄时，ξ＝5， (2)由已知，得η有三种取值即 1,2,3，所以η的分布列是： 故 a∶b∶c＝3∶2∶1. 【规律方法】(1)一般地，若离散型随机变量X 的分布列为： ＋…＋[xn－E(X)]2pn为随机变量X的方差 (2)若X 是随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b 是常数，则 Y 也是随机变量，则 E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX ＋b)＝a2D(X). (3)均值体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变 量的均值相等，还要看随机变量的取值在均值周围的变化，方 差大，说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中. pn … pi … p2 p1 P xn … xi … x2 x1 X 【互动探究】 考点 3 二项分布的