计算方法-8.3初值问题差分格式的有效性范例.ppt

* * 8.3 初值问题差分格式的有效性 * * 在一个空间区域R上，给出表征流体运动的状态矢量U(r,t)，其中r=(x, y, z)为空间点的坐标，t为时间变量。设在t=0时刻，U(r,0)=U (0)是确定的，并假定对于全部时间0≤t ≤T在R的边界上，U满足一定的条件。那么，对于整个时间系统的状态可以作为初值方程的解得到 8.3.1 初值问题的定义 * * 定义的含义: （1） U(r,t)是时间t和空间r的函数； （2） t=0时刻（称为初始时刻）， U(r,0)=U (0)是已知的； （3） 对于0≤t ≤T 的任一时刻，U在R的边界上满足一定 的条件，这一条件一般是已知的（称为边界条件）； （4） 给出的方程是 （5） U在0≤t ≤T 的任一时刻，可由给出的方程＋初始条 件＋边界条件来求出。 本节主要讨论差分方程与原微分方程之间的关系 * * 由前两节可知，同样的运动方程可以构造不同的差分格式。由于不同差分格式具有不同的内在性质，与原微分方程有不同的近似关系，呈现不同的数值效应。要使采用这些差分格式得到的数值解能反映真实流动现象，因此，如何分析、判断格式的有效性、可靠性就显得十分重要。本节将对与差分格式特征性质相联系的基本概念如差分格式的相容性、收敛性、稳定性、耗散性和色散性等进行介绍，为后面章节数值解法的定性分析提供基础。 定义：要求在小的时间步长和小的空间步长趋于零的 极限条件下，差分方程近似于微分方程。 8.3.2 差分近似的几个准则：相容性,精确性,收敛性, 稳定性 * * 1. 相容性 将方程中的微分运算采用差分近似时，被要求的第一个性质是差分近似的相容性，即差分系统在某种程度上应该近似于微分系统，或更确切地说要求差分系统和微分系统相协调。 由相容性定义可知 导数与其差分近似式之间存在截断误差 当时间步长△t和空间步长△x都趋近于零时，差分方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程 以一维平流方程 例，用差商代替微商，得 截断误差 * * 2. 精确性 * * 由差分方程求得的微分方程的数值解，它的精确性主要受两种原因产生的误差所损害： （1）截断误差：由差分方程模拟微分方程的近似所造成。这种误差依赖于时间格距△t和和空间格距△的大小。因此要选择截断误差尽量小的差分格式。 （2）舍入误差：是由计算机的记忆系统所描述变量的精度造成的。每一步计算的舍入误差可能影响不大，但是由于求解差分方程是逐步进行的，自然提出这样的问题：这种舍入误差在全部计算过程中是否无界地增长（误差的放大效应）？ * * 3. 差分近似的收敛性 定义： 在任何初值条件下都能给出收敛解的差分格式通常称为收敛格式 x-ct=const P i△x A C B n△t x t * * ＊ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 讨论一维平流方程 * * 差分格式收敛的必要条件是，真解的特征线必须在相应的数值解的依存域内，必须满足这个必要条件，才可能收敛，这个条件称为柯朗条件，即 或 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的；若这种误差积累无界，则差分方程是不稳定的 4. 稳定性 * * * * Lax等价定理：对一个适定的初值问题，在满足相容条件的前提下，稳定性是收敛性的充要条件。 5.耗散性、色散性和守恒性 耗散性：准确解剧变的位置呈现光滑化现象 色散性：准确解剧变的位置呈现微小的“高频振荡”现象 守恒性：数值解保持真解所固有的守恒性的程度 耗散 色散