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二、理想气体的压强公式 §6-2 麦克斯韦速率分布律 * 第六章 平衡态的统计规律 The Statistical Law of Equilibrium State 玻尔兹曼 (1844-1906) 从微观角度研究分子的热运动必须建立理想的微观模型。本章将提出理想气体的模型，推导出压强、温度与微观量的关系，并介绍麦克斯韦所导出的分子速率分布规律。其中重点是压强、温度公式，三个速率公式。 6.1 理想气体的压强和温度 本节运用统计方法，导出平衡态下理想气体的压强和温度的统计表述。 一、理想气体的微观模型 1. 理想气体 分子运动的力学假设 ①分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。 ② 分子不停地运动，分子间以及与器壁的碰撞是完全弹性的，单个分子运动遵从经典力学。 ③除碰撞瞬间外, 分子之间的作用,重力可忽略不计。 2. 平衡态理想气体分子运动的统计假设 ①分子在容器中的空间分布平均来说是均匀的，分子数密度： N 表示容器体积V内的分子数。 ②具有相同速率的分子，向各个方向运动的平均分子数是相等的： 统计结果 . x S z m v1 y 　 容器中气体宏观上施于器壁的压强是大量分子对器壁不断碰撞的结果。 无规则运动的分子不断与器壁相碰，对个别分子它与器壁的碰撞是随机的断续的，但对大量分子整体而言，每时刻都有许多分子与器壁相碰，所以宏观上表现为一个恒定的持续的压力，就好比雨天打伞，每一滴雨落在何处，冲量多大都是不同的，但由于雨滴数众多，每时刻总有许多雨滴落在伞上，伞面将受到一个持续的压力。 推导 推导 分子数密度 玻尔兹曼常数 单个分子的压强毫无意义 如：给自行车打气增加压强，从微观上讲是增加了分子数密度；篮球在太阳底下晒一晒后可以鼓起来，从微观上讲是平动动能增大了。 ①宏观量p与微观量 之间存在对应关系。 P是宏观量，平均平动动能是不可测量的，但据此得到的各种结果都与实际相一致。 ②压强P是统计平均量。 压强公式不是单纯的力学规律，而是统计平均的关系式。 分子热运动 平均平动动能 ①揭示了宏观量 与微观量 之间的关系。 三、理想气体的温度公式 1. 温度的微观本质： 温度是气体分子平均平动动能大小的量度；它反映着分子做无规则运动的情况。 ②温度T是一个统计平均量。 2. 绝对零度不可能实现! ③ ④ 对任何气体只要T相等，其平均平动动能就一定相等。 例1：气体分子间的平均距离与压强 p、温度T的关系为 ，在压强为1atm、温度为00C的情况下，气体分子间的平均距离？ m。（ k=1.38×10-23 J/K ） 解： 在热动平衡条件下，气体分子的运动是杂乱无章的，若考虑某一分子在某一时刻的速度大小和方向是随机偶然的，是不容易也没有必要去掌握的。但就大量分子的整体，在热平衡时，分子的速率（速度）分布有其统计规律性。 理想气体在热动平衡状态下，各个速率区间内的分子占总分子数的百分比的规律——速率分布律。 一、Maxwell 速率分布函数 1. 条件：理想气体在热动平衡状态下，不考虑重力。 1859年，Maxwell首先推导出理想气体的速率分布函数。 2. 定义: 如果分子速率在 区间内的分子数占总分子数的百分比为 ，设速率分布函数为 3. 麦克斯韦速率分布函数： 即为概率。 概率对应图中小矩形的面积 速率分布函数 快减 快增 两者相乘 曲线 p p 若m、T 给定， 玻耳兹曼常数， 函数的形式可概括为 曲线 曲线 有单峰，不对称 速率分布曲线 速率 恒取正 [讨论] ① ②满足归一化条件： 表示分布在 区间内的分子数 占总分子数的百分比。 ④速率在 之间的分子数 目 v v 1 2 S1 S2 S1 S2 (v) f v o v v 1 2 线，小面积，大面积的物理意义？ S1=S2时,大于v0的分子数? 三、三种重要的速率 最概然速率: （最可几速率） 2.平均速率： 3.方均根速率： [附2] 三种速率大小的比较 [附1] 变换式 推导 最概然速率 与此函数的极大值对应的速率 称为最可几速率 或 令 即 易得 因 则 不同条件比较 （或 ） 相同 相同 用 进行比较 平均速率 平均速率（算术平均速率） 根据某连续变量 x 的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分的定义。 在讨论气体分子平均自