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应力状态 1 2 3 §4 应力应变间关系 应力状态 ★分析: 1、 即 2、当 时,即为二向应力状态: 3、当 时,即为单向应力状态; 即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 §4 应力应变间关系 应力状态 4、若单元体上作用的不是主应力,而是一般的应力 时,则单元体不仅有线变形 ,而且有切变形 。其应力-应 变关系为: x z y §4 应力应变间关系 应力状态 3、三个弹性常数之间的关系 这表明,对于各向同性材料,三个弹性常数中,只有两个是独立的。 §4 应力应变间关系 应力状态 例4-1:已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了 测定拉力F和力矩m,可沿轴向及与轴向成45°方向测出 线应变。现测得轴向应变 , 45°方向的应变 为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200 GPa,泊松比?=0.3。试求F和m的值。 F m m F k u u 45° §4 应力应变间关系 应力状态 解: (1)K点处的应力状态分析 在K点取出单元体: K 其横截面上的应力分量为: (2)计算外力F 由广义胡克定律: §4 应力应变间关系 应力状态 解得: (3)计算外力偶m 已知 式中 K u §4 应力应变间关系 应力状态 由 解得: 因此 §4 应力应变间关系 应力状态 §4 应力应变间关系 例4-2: 已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为ε1=240×10-6,ε3=-160×10-6。构件材料为Q235钢,弹性模量E=210GPa,泊松比ν=0.3。试求该点处的主应力数值,并求该点处另一主应变ε2的数值和方向。 解:由题意可知,点处于平面应力状态且 由广义胡克定律 应力状态 §4 应力应变间关系 可得: 是缩短的主应变。其方向沿构件表面的法线方向。 应力状态 §4 应力应变间关系 例4-3: 边长为0.1m的铜方块,无间隙地放入变形可略去不计地刚性凹槽中。已知铜的弹性模量E=100GPa,泊松比ν=0.34。当铜块受到F=300kN的均布压力作用时,试求铜块的三个主应力的大小。 解:铜块横截面上的压应力为 应力状态 §4 应力应变间关系 由题意: 按主应力的代数值顺序排列,得该铜块的主应力为: 应力状态 a c 1 3 b 2 变形前单元体体积: 变形后单元体体积: 0 ? 体积应变 §4 应力应变间关系 应力状态 单位体积变形: (体积应变) 利用广义胡克定律: 式中: (体积弹性模量) (平均正应力) (体积应变 胡克定律) §4 应力应变间关系 应力状态 ★讨论: 1、单位体积变形 只与三个主应力之和有关,与主应 力的大小比例无关。 2、因为 ,因此 与取轴方向无关,且三 个相互垂直面上的正应变之和不变。 例如纯剪切应力状态: t t t t 45o 3、若 或 ,则 ,即体积不变。但 因此仅当 时, §4 应力应变间关系 应力状态 ★结论: 纯剪切应力状态,具有体积不变性。说明体积 改变与切应力?无关,但形状有改变,即形状改 变与切应力有关。 §4 应力应变间关系 应力状态 §5 应变能密度 应力状态 1、单元体应变能 dy dx dz 力的作用点所产生的位移 §5 应变能密度 应力状态 U=dW= 力在位移上所做的功转变为单元体的应变能 §5 应变能密度 应力状态 2、应变能密度 §5 应变能密度 应力状态 + 将一般应力状态分解为两种特殊情形 3、体积改变能密度与形状改变能密度 §5 应变能密度 应力状态 不改变形状,但改变体积 不改变体积,但改变形状 §5 应变能密度 应力状态 §5 应变能密度 = + 应力状态 不改变形状,但改变体积 ?V为体积改变能密度 §5 应变能密度 应力状态 ?d为形状改变能密度 不改变体积,但改变形状 §5 应变能密度 应力状态 不改变形状,但改变体积 §5 应变能密度 应力状态 不改变体积,但改变形状 §5 应变能密度 应力状态 §5 应变能密度 例5-1 用能量法证明三个弹性常数间的关系。 ?纯剪单元体的应变能密度为: ?纯剪单元体应变能密度的主应力表示为:
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