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辗转相除法求模的逆元
问题：求A关于模N的逆元B，即要找出整数B，使A×B mod N＝1(或A×B＝x×N＋1)，这里要求A和N互素。
方法：辗转相除法（即欧几里德算法）
该算法原用于求两个数的最大公约数，经过变形可用于求模逆元
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辗转相除法求模的逆元
首先对余数进行辗转相除：
N ＝ A × a0 ＋ r0
A ＝ r0 × a1 ＋ r1
r0＝ r1 × a2 ＋ r2
r1＝ r2 × a3 ＋ r3
……
rn-2＝ rn-1 × an ＋ rn
rn-1＝ rn-2× an+1＋ 0
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辗转相除法求模的逆元
对上面的商数逆向排列(不含余数为0的商数)：
其中：
b-1＝1
b0＝an
bi＝an-i×bi-1＋bi-2
如果n为奇数(即商数个数为偶数)，则bn即为所求的逆元B；
如果n为偶数(即商数个数为奇数)，则N－bn即为所求的逆元B。
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辗转相除法求模的逆元
例1：求61关于模105的逆，先对余数辗转相除：
105＝61×1＋44
61 ＝44×1＋17
44 ＝17×2＋10
17 ＝10×1＋7
10 ＝7 ×1＋3
7 ＝3 ×2＋1
3 ＝3 ×1＋0
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辗转相除法求模的逆元
将商数逆序排列：
由于商数个数为偶数，因此31即为61关于模105的逆元。(31×61＝105×18＋1)
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辗转相除法求模的逆元
例2：求31关于模105的逆，先对余数辗转相除：
105＝31×3＋12
31 ＝12×2＋7
12 ＝7 ×1＋5
7 ＝5 ×1＋2
5 ＝2 ×2＋1
2 ＝1 ×2＋0
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辗转相除法求模的逆元
将商数逆序排列：
由于商数个数为奇数，因此105-44=61即为31关于模105的逆元。
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辗转相除法求模的逆元
练习1：求19关于模210的逆
练习2：求191关于模210的逆
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