实变函数(程其襄版)第一至四章课后习题答案.doc

第一章 集合 早在中学里我们就已经接触过集合的概念，以及集合的并、交、补的运算，因此这章的前两节具有复习性质，不过，无限多个集合的并和交，是以前没有接触过的，它是本书中常常要用到，是学习实变函数论时的一项基本功。 康托尔在19世纪创立了集合论，对无限集合也以大小，多少来分，例如他断言：实数全体比全体有理数多，这是数学向无限王国挺近的重要里程碑，也是实变函数论的出发点。 实变函数论建立在实数理论和集合论的基础上，对于实数的性质，我们假定读者已经学过，所以本书只是介绍集合论方面的基本知识。 §1 集合的表示 集合是数学中所谓原始概念之一，不能用别的概念加以定义，就目前来说，我们只要求掌握一下朴素的说法： 在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称作一个集合，其中每一个个体事物叫做该集合的元素。 顺便说明一下，一个集合的各个元素必须是彼此互异的，哪些事物是给定集合的元素必须是明确的，下面举出几个集合的例子。 4，7 ，8，3四个自然数构成的集合。 全体自然数 0和1之间的实数全体 上的所有实函数全体 A,B,C三个字母构成的集合 平面上的向量全体 全体高个子并不构成一个集合，因为一个人究竟算不算高个子并没有明确的界限，有时难以判断他是否属于这个集合。 1.集合的表示 一个具体集合A可以通过例举其元素来定义，可记 也可以通过该集合中的各个元素必须且只需满足的条件p来定义，并记为 A={x：x满足条件p} 如例1可以表示为｛4，7，8，3｝例3可以表示为 设A是一个集合，x是A的元素，我们称x属于A，记作，x不是A的元素，记作。 为方便表达起见，表示不含任何元素的空集，例如 {：1}= 习惯上，N表示自然数集，（本书中的自然数集不包含0），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. 设是定义在E上的函数，记={ ：∈E}，称之为f的值域。若D是R中的集合，则={:∈E ,},称之为D的原像，在不至混淆时，{：∈E，满足条件p}可简写成{:满足条件}. 2.集合的包含关系 若集合A和B满足关系：对任意∈A,可以得到x∈B，则成A是B的子集，记为AB或BA，若A B但A并不与B相同，则称A是B的真子集. 例7. 若在R上定义，且在[a,b]上有上界M，即任意对 ∈[a,b]有M.用集合语言表示为：[a,b] {：M}. 用集合语言描述函数性质，是实变函数中的常用方法，请在看下例. 例8. 若在R上连续，任意取定∈R,对任意0,存在0.使得对任意有,即 . 3.集合相等 若集合A和B满足关系：AB且BA,则称A和B相等，记为A=B. 例9 设在R上定义，且在R上有上界M，则 R={：M}={：M+1} 例10 若在[a,b]上连续，则由连续函数的性质，，其中 ，. §2 集合的运算 从给定的一些集合出发，我们可以通过所谓集合的运算做出一些新的集合，其中最常见的运算有并、交、减法三种，实变函数中大量使用无限并和无限交的运算。 1、集合的并集 设A,B是任意两个集合，设C由一切或属于A或属于B的元素所组成，则我们称C为A,B的并集或和集，简称为并或和，记为它可以表示为 图1.1是的示意图。 并集的概念可以推广到任意多个集合的情形，设有一簇集合,其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的并集或和集，记为，它可以表示为： 注意，按照集合的定义，重复出现在两个被并集合中的元素在做并运算时只能算一次。 习惯上，当为有限集时，写成,而写成。 例1设和是定义在E上的函数，则对任意 例2. 例3若记 例4 若是一族开区间，而，则存在 使得 （有限覆盖定理） 例5若是定义在E上的函数，则 2、集合的交集 设A,B是任意两个集合，由一切既属于A又属于B的元素组成的集合C称为A和B的交集或积集，简称为交或积，记作,它可以表示为 如图1.2所示 交集的概念也可以推广到任意多喝集合的情形设 是任意集族，其中是在固定指标集中变化的指标；则由一切的所有元素组成的集合称为这族集合的交集或积，记为，它可以表示为： 若 ，说明所有的没有公共的元素。 习惯上，当为有限集时，写成,而 写成 例6、若是定义在E上的函数，则 例7、若则存在唯一的 使 （区间套定理）。 例8 若是定义在E上的一列函数，则对任意， （1）（2） 证明 我们只证明（1），（2）的证明类似的，请读者自证。 若则对任意n即 ，由n 的任意性，；反之，若，对任意n， ，