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地板砖铺设问题的研究 摘要 在工程实际中经常会遇到房屋地板砖的铺设问题，在此类为题中，我们需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面因素，来使成本最小化。本文对地板砖铺设成本问题进行数学建模并设计算法求解。 问题一，我们对房间进行矩形切割，对此已分类的矩形进行地板砖的铺设，忽略掉因从新规划而造成的地板砖的破损损失。可以得到，铺设地板砖所需的总费用W为： 问题二，在问题一中我们得知，可以将模型的求解简化为在矩形区域内的求解。由于本问要求用一种地板砖铺设，问题就转化成将五种地板砖分别在13块矩形区域内的求解问题，通过对求解的结果比较选取成本最低的模型。我们可以将铺设块数、费用及利用率的问题的计算归结到地板砖铺设最低费用的问题中。比较五种地板砖铺设总费用： 尺寸 800*800 600*600 400*400 300*300 600*300 300*600 所需总费用 42757 49988 60521 60807 58365 57814 我们可以得到，选择铺设规格为800mm*800mm的地板砖所需费用最少，为42757元。 问题三，该问是在允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，实现地板砖的自动铺设，并计算出铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。通过问题二可知800mm*800mm规格的地板砖性价比最高，我们可以优先利用800*800的地板砖进行铺设，在不能铺设完整规格的800mm*800mm的区域外，再用其他规格的地板砖进行切割填补。我们可以得到，规格为 800mm*800mm的地板砖铺设总块数为192，所需费用为38426.6元，利用率为0.7396；规格为600mm*600mm的地板砖铺设总块数为2，所需费用为1588.6元，利用率为0.5；规格为600mm*300mm的地板砖铺设总块数为33，所需总费用为3322.7元，利用率为0.9393；规格为400mm*400mm的地板砖铺设总块数为57，所需总费用为3265元，利用率为0.9474；规格为300mm*300mm的地板砖铺设总块数为2，所需费用为992.3元，利用率为0。 关键词：目标规划 最小成本 地板砖铺设方案 建议书 一、问题重述 在工程中经常会遇到将一种固定形状的材料铺设到某种物体表面的问题。房屋地板砖的铺设就是其中的一种典型实例。在地板砖的铺设问题中，需要考虑地板砖的成本、铺设人工费用以及地板砖破损成本等方面，目标是为了使成本最小化，同时需要考虑整块地板砖的使用比例，即切割地板砖数尽量少，达到美观效果。 设工程中能购买到的地板砖的尺寸、价格、安装费用、破损概率等参数如表1所示。需要铺设的房屋地面结构如图1所示。假设每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。 1.请综合考虑影响地板砖铺设成本的因素，建立计算地板砖铺设总成本的模型。 2.若仅使用一种尺寸的地板砖进行铺设，请设计一种算法进行地板砖的自动铺设，并计算铺设地板砖的块数、利用率和总费用，比较分析哪种尺寸的地板砖铺设成本最低。 3.若允许使用多种尺寸的地板砖进行混合铺设，又如何实现地板砖的自动铺设，并计算铺设各种尺寸地板砖的块数、利用率和总费用。 4.根据你的模型、算法和计算结果，为地板砖铺设提出一些意见和建议。 表1 各种地板砖相关参数 尺寸 单价（元） 破损概率（%） 切割成本（元/块） 800mm*800mm 180 8 4 600mm*600mm 130 7 3 600mm*300mm 80 6 3或1.5 400mm*400mm 72 5 2 300mm*300mm 45 3 1.5 图1 户型结构图（单位mm） (注：铺设地板砖时不需考虑家具等限制，只需考虑墙面限制，进行地面全铺设。) 二、模型假设 1.假设门框底部地面不用铺地板砖。 2.每块地板砖只能沿着平行于边的方向切割，最多只能切割一次，且切割所用人工费跟切割长度成正比。 3.假设每个房间用同一规格的地板砖来铺设，我们首先忽略墙宽度的限制。 4.地板砖的铺设没有缝隙间隔，相邻砖之间严格无缝连接。 三、符号说明 各类地板砖的总数 各类地板砖实际购买数 Xi 第i个房间的横向边长 Yi 第i个房间的纵向边长 第i个房间需要切割地板砖的长度 Ni 第i个房间所用地板砖数 ni 第i个房间所用地板砖未切割的块数 mi 第i个房间所用地板砖被切割的块数 第i个房间横向铺设未切割的地板砖数 第i个房间纵想铺设未切割的地板砖数 pi 第i个房间切割地板砖的破损数 Q 人工总费用 U 切割总费用 W 铺设总费用 S 房间总面积 四、问题分析 对于问题一，要实现地板砖成本最小，我们要考虑到地板砖的选取以及怎样铺设这两个问题。对于地板砖的选取，我们对问题所给表格进行处理，