拉普拉斯方程-球坐标系概要.ppt

数学物理方法 拉普拉斯方程 常用齐次定解问题要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 数学物理中的对称性 对称性的概念 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 分类 对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时，它的解也具有同样的对称性。 对称性的应用 对称性的分类 对称性的描述 对称性的应用—柱坐标输运方程 球坐标下拉普拉斯方程的通解 拉普拉斯方程的轴对称定解问题 静电场的定解问题 方程 静电场问题中确定边界条件的一些基本原则 电势在两种介质的界面上连续 基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视情况不同而有不同解法 具体的工作：解泊松方程 应用 边界条件 高斯定理的普遍形式 积分形式 微分形式 自由电荷 给定边界条件 自然边界条件 衔接条件 Poisson方程 电位移矢量 介电常数 无旋场的特点 导体：等势体； （常数） 接地时电势C=0 电介质：利用电极化矢量描述 为从媒质Ⅱ指向媒质Ⅰ为正方向 电势在两种介质界面上的法向导数满足 导体内部电场强度为零！ 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． 例如 电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的 这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布． 选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程 它的通解可以用分离变量法求出。拉氏方程在球坐标中的通解为 若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为 例1 介电常数为ε的介质球置于均匀外电场E0中，求电势。 * * 演化方程 稳定方程 球坐标 柱坐标 直角坐标 √ √ √ √ √ √ 球坐标 极（柱）坐标 直角坐标 三维 二维 参看附录VI 沿z轴平移对称 对称函数 对称条件 对称性名称 绕原点转动对称 绕z轴转动对称 沿z轴反演对称 沿z轴平移对称 泛定方程 未知函数 对称性 双重对称 绕z轴转动对称 无任何对称性 （9.1.1） 两边同除以R(r) Y(θ,φ) 两边同乘以r2，整理变量 (9.1.3)式的解 与半径 无关，故称为球谐函数 ，或简称为球函数． （9.1.3） （球谐函数方程） （9.1.2） （欧拉型常微分方程） μ分离变量法引入的参数 (spherical harmonic function) 球谐函数方程进一步分离变量，令 得到关于 的常微分方程 　　　　（9.1.5） 　　　　（9.1.4） 代入球谐函数方程 两边同除以Θ(θ)Φ(φ)，乘sin2θ后移项得： 得： 分离变量 引入的参数 　　　　（9.1.5） 　　　　（9.1.4） （9.1.1） Laplace方程 两次分离变量 （9.1.2） 小结 三个关联的常微分方程 偏微分转化成常微分方程的求解 1 三个常微分方程的求解（一） 对应的本 征值问题为 周期性 边界条件 由周期性边界条件得： 利用三角和 差化积公式 得： m0 此时A可任意取值，周期性边界可满足！ 由周期性边界条件得： 由周期性边界条件得： λ=0可使此两式为零， 但不满足λ0的假设 本征值为 本征函数为 令 三个常微分方程的求解（二） 2 （9.1.4） 其中 若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与 无关，则 ，即有 为勒让德（legendre）方程． 　　　　（9.1.5） （9.1.6） 把自变数从 换为 ，则方程（9.1.4）可以化为下列 形式的连带勒让德方程，其中 总结：球函数方程（9.1.3） 得到两个本征值问题 本征值 本征函数 （9.1.3） (ii) (9.1.7) 分离变量 （i） （9.1.6） 本征值为 本征函数为 球函数方程 在 区域中的解 ， 是与本征值 相应的本征函数 实际上由下列两个本征函数之积组成，即为 （9.1.8） 其中 是变量 相应于本征值 的本征函数； 是变量 相应于本征值 （对于确定的 ）的本征函数 （9.1.3） 线性独立的 阶球函数共有 个． 因为对应于 ，有一个球函数 对应于 则各有两个球函数即 和 根据欧拉公式 ， 将复数形式的球函数统一表示为 （9.1.9） 在（9.1.10）之中，独立的 阶球函数仍然是 个． m的范围扩大 球函数(sp