结构动力学ch4-1概要.ppt

* 将其作为前s阶主振型矩阵[Y]的零次近似。 选取s个n维向量，为了使计算能保持适当大小，令各个向量的最大模为1，记这 个n维向量为 ，组成一个n×s阶的矩阵，即： §4.1 矩阵特征值问题及解法 对上式左乘矩阵[A],即相当于对 作用算子，记为: * 与普通迭代法不同，这里是空间迭代，即同时迭代s个n维向量。 使 中各振型位移的最大模为1，标准化后的结果记为 。 §4.1 矩阵特征值问题及解法 * 需要在迭代过程逐步达到这个目标。 在选取时一开始就能满足这一条件? 不可能 怎么办？ §4.1 矩阵特征值问题及解法 瑞利-里兹法: 不管如何选取 ，经过反复迭代，一定收敛于第一阶主振型。如果选取的 不包含第一阶主振型分量，则反复迭代后一定收敛于第二阶主振型。 同理，如果选取的 不包含前面(i-1)阶主振型分量，则反复迭代后一定收敛于第i阶主振型。 * 体系前s阶主振型矩阵的一次近似表达式为: 为待定系数矩阵 迭代求得 后，在再迭代前对它进行一些处理。首先对 进行正交化处理，使其各列经迭代后分别趋于各个不同阶的主振型，而不是都趋于第一主振型；然后进行标准化，即令各振型的最大模等于1。 §4.1 矩阵特征值问题及解法 广义刚度矩阵 和广义质量矩阵 定义如下： * 问题变成为s×s阶的特征值问题： 为待定系数列阵， 为待求频率。 §4.1 矩阵特征值问题及解法 一般情况下 ，因此s阶特征值问题相对来说比较容易求解，可求得特征值 及相应的特征向量系数列阵 ，组成体系的第一次近似特征矩阵 以及待定系数矩阵 。 利用方程 得 ，标准化后即可得到 * 对广义质量矩阵 满足正交化条件： §4.1 矩阵特征值问题及解法 对体系的质量矩阵正交，即 时，有 计算得到的 比 更合理。 然后再以 进行第二次迭代，得到 ，标准化后得 ； 再利用里兹特征值问题，求得 和 ，从而有第二次近似值 ，标准化后得 。 继续上述迭代过程，可以得到第m次近似的 和 。 * 计算经验表明: 最低的几阶特征值和特征向量一般收敛很快，因此比需要多取几阶特征对进行计算对时间影响不是很大。 §4.1 矩阵特征值问题及解法 当 时，计算结果将收敛于体系的前s个特征值和特征向量，即 如：如果要求s阶前特征对，可以取p阶（ps) 假设振型，迭代时只需要前s阶特征对满足所拟精度即可，附加的(p-s)阶假设振型仅仅为了加快前s阶特征对的收敛速度。 但选取过多的附加振型会大大增加每次迭代时的工作量。合理地选取附加振型相当重要，建议取p=min(2s,s+8) 较为合适。 * 优点: 1)可以按照任意要求的精度进行计算； (大型复杂结构的自由度多达几千，但需要的主振型和特征向量往往只是最低的几个或几十个，这时利用子空间迭代法最为方便； 2)当体系有几阶特征值很接近或重根时，一般迭代法会出现收敛很慢或无法计算的情况，子空间迭代法可以克服这个困难，顺利完成计算。 计算实践证明，子空间迭代法是解决大型结构振动问题的富有成效的方法之一， §4.1 矩阵特征值问题及解法 * §4.1 矩阵特征值问题及解法 例: 考虑一个特征值问题 试用子空间迭代法求第一和第二阶特征对 解：假设前二阶主振型向量为: * 标准化后，有 广义刚度矩阵和广义质量矩阵为: §4.1 矩阵特征值问题及解法 由 * 里兹特征问题为: 解得： §4.1 矩阵特征值问题及解法 * 第一次近似的前二阶振型为 标准化后得 §4.1 矩阵特征值问题及解法 * 第二次近似计算： 经标准化后，有: §4.1 矩阵特征值问题及解法 * 广义刚度矩阵和广义质量矩阵的第二次近似值为 待求的里兹特征值问题为 §4.1 矩阵特征值问题及解法 解得： * 第二次近似的前二阶振型为 §4.1 矩阵特征值问题及解法 标准化后得 * 比较 与 ，两者间的差别已经很小，因此迭代可以结束。 本题的精确解为