3-2李群的基本概念.ppt

* 首先复习线性空间与线性变换的概念 3.2 李群的基本概念 一、李群的组合函数 1. 几个概念 李群：是一种连续群，它的每个元素可以用一组独立实参数在欧氏空间的一定区域内连续变化，要求在参数的变化区域内，至少在测度不为零的区域内，群元素与参数值有一一对应的关系 阶：独立实参数的数目 群空间：参数变化范围；群空间维数就是连续群的阶 群元素：群空间的点 欧氏空间：定义实内积的线性空间，即有限维实内积空间 （V,V）→R(实数) 测度不为零区域：可以简单理解为 维数与群空间维数相同的区域；边界是测度为零的区域 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ?用限制群空间范围的方法来实现在测度不为零的区域内 群元素和参数值 一一对应 如：三维转动群的群空间 取作：半径为π的球体，保证了球体内的群元素R(n,ω)与参数值ωa的一一对应关系；在测度为零的球面上，直径两端的点，即两组不同的参数值，对应同一个群元素 ^ 2. 组合函数： 定义： 设元素R∈G，参数为(r1,r2,...,rg)，简写为 R(r1,r2,...,rg)=R(r); 对群元素的乘积 R(r)S(s)=T(t)，g个参数tj是2g个参数ri和sk的函数 tj=fj(r1,...,rg;s1,...,sg)=fj(r;s) 则g个函数fj(r;s)称为连续群的组合函数，它完全描写了群元素的乘积规则 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 李群的组合函数：是解析函数 在群空间连续可微（导），微积分的整套工具可以用来深入研究李群，使李群成为至今研究最深入、最成功的无限群 群的组合函数必须满足如下条件（对应群的四个条件） 封闭性：组合函数定义域：(群空间)×(群空间)，值域仍是群空间，至少在测度不为零的区域，要求fj(r;s)是单值解析函数，【即R(r)S(s)=T(t) 一一对应】 结合律： fj[r;f(s;t)]=fj[f(r;s);t] 【即R(r)[S(s)T(t)]=[R(r)S(s)]T(t) 】 恒元参数为ej，它包含在群空间内 fj(e;r)=fj(r;e)=tj 通常为方便 取ej=0，此时R(r)E(e)=T(t)→R(r)=T(t) R的逆元参数记作rj fj(r;r)=fj(r;r)=ej 【R(r)-1R(r)=E(e)=R(r)R(r)-1 】 ˉ ˉ ˉ ˉ ˉ Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、李群的局域(Local)性质 1. 邻近元素 在群空间中，邻近的点对应的元素为邻近元素 无穷小元素 因常把恒元的参数选为零，恒元邻近的元素，参数是无穷小量，称为无穷小元素 注意：不要把无穷小元素看成是一个很小的元素 无穷小量是一个极限过程 无穷小元素与群元素的微分运算相联系 李群无穷小元素的性质决定了李群的局域性质 E(e) A(α) B(β) A,B是无穷小元素，但不一定很小， 参数α,β是无穷小量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2. 局域性质 无穷小元素与任意元素R的乘积，是R的邻近元素 乘积的参数在元素R参数的邻域中 R的邻近元素和R-1相乘，得到无穷小元素 粗略地说，无穷多个无穷小元素相继乘到群元素上，在群空间表现为 由元素R对应点出发的一条连续曲线 ......A2A1 R 因此，若在群空间中，代表R的点与代表恒元E的点，可以通过一条完全在群空间内的连续曲线相连接，则R可表示为无穷多个无穷小元素的乘积 E 数学上，元素R的性质可通过一个微分方程来描写 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copy