09.10学年第二学期概率统计期末考试试卷A及答案.docVIP

四川大学期末考试试卷（A）及解答及评注 2009-2010年度第二学期2009级理工科本科生 填空题 1．将封信随机投入个邮筒中，则第号邮筒未投有信的概率是（）. 解答： 评注：典型的古典概率问题. 注意空间中样本点数的计算！ 2．仓库中放有甲、乙两厂生产的某产品，其中甲厂产品数量是乙厂产品数量的两倍. 已知甲厂产品的次品率为，乙厂产品的次品率为，则从仓库中任取一产 品为合格品的概率为（）. 解答： 评注：本题是典型的全概率公式的应用问题. 注意前面告诉的是次品率，而后面求 的是合格率，粗心者当心！ 3．设，，且与相互独立，则概率（）. 解答： 评注：概率的计算问题，逢考必有！ 注意（条件或一般）概率的性质及一些常用的 计算公式！ 4．设总体，为来自总体的样本，样本三阶矩 ，则（）. 解答： 评注：概率考试的常见问题！ 注意数学期望的性质及计算，以及函数的应用！ 该题可发展为关于“大数定律”的问题：设随机变量序列 相互独立且都服从分布，令，则 这就是“独立同分布大数定律”应用，这类问题就应弄清数是你是哪个随 机变量的前项的平均值！ 5．设样本来自正态总体，为样本均值. 若 ，则（ ）. 解答： 评注：抽样分布定理的问题！ 亦可如下解答： 由题意及抽样分布定理有，所以 ， 又因为，所以，从而， 因而 单项选择题 设随机变量，（二项分布），且，则 （ ）. 解答： 评注：注意常见分布的期望及方差的计算公式！ 本题考查了二项分布的期望与方差公式及二项分布的分布律. 设为均匀分布的密度函数，为均匀分布的密度函 数，若为某连续型随机变量的密度函数，则必满 足（）. 解答：由密度函数的非负性即得；再由密度函数的归一性有 评注：本题考查了连续型随机变量密度函数的性质，以及均匀分布. 3．设随机变量的密度函数，则（）. 解答： 评注：本题考查了正态分布密度函数与其期望和方差的对应问题. 4．若随机变量的方差为，由切比雪夫不等式，应有（ ）. 解答： 评注：本题考查了切比雪夫不等式的应用问题. 弄清楚切比雪夫不等式的两种形式. 5．设为来自正态总体的样本，若统计量，则满足（）. 解答：由题意有，故. 评注：注意三大抽样分布的定义，本题考查了分布的定义. 解答题（共） 1．随机变量的密度函数为. 求分布函数；求方差； 设求密度函数. 解答： ； 首先；对任意， ； 从而有. 评注：把分布函数写成是常见错误， 混淆了分布函数与密度函数. 也不符合分布函数的单调不减性， 注意检查！ 另外，在计算时可用的结论： 当时，. 考查期望与方差的计算！ 有同学仅算出就完了，忘了应该算什么！ 有些同学的计算能力无法说 考查随机变量函数的分布，分布函数法或一般方法的步骤！ 2. 设二维随机向量有联合密度函数 ， 求；边缘密度； 求期望； 求条件密度函数. 解答：由有密度函数的归一性有 ， 故； 由边缘密度函数公式得 ； 当时， 评注：从头要算准确，否则，就算方法正确，也算不对！ 考查了用密度函数的性质计算密度函数里的未知数！ 有同学这样算的：，太有才了！ 考查了二维连续型随机变量的边缘分布！ 考查了二维随机变量函数的期望！ 考查了二维随机变量的条件分布！ 再次提醒大家，是一元函数，非二元函数，其中是自变 量，只是参数，所以先决条件应放在最前面，而定义域处应指的 取值范围. 3. 设二维随机变量有概率分布律，且条件概率. 求；求协方差；与是否独立，是否相关？ 解答：由分布律性质有 又由可得 联立两式得； 由联合分布律易得 故 因，则与相关，当然不独立. 评注：从头要算准确，否则，就算方法正确，也算不对！ 考查了联合分布律的性质和条件概率！ 考查了二维离散型随机变量的边缘分布，二维随机变量函数的期望！ 此处也可如下计算 考查了二维随机变量的条件分布！ 再次提醒大家，是一元函数，非二元函数，其中是自变 量，只是参数，所以先决条件应放在最前面，而定义域处应指的 取值范围. 4. 某厂生产的产品中，一等品率为. 用中心极限定理完成 若一盒产品装有个，求一盒中至少有个一等品的概率； 设一盒装有个产品，若要求至少有的产品为一等品概率不低于， 则至少应取多少？？ 附正态分布表： 解答： 设一盒中的一等品数为，则，由中心极限定 理，近似地有，故所求概率为 ； 设装有个产品的一盒中的一等品数为，则，由 中心极限定理，近似地有；由题意 故至少取. 评注：中心极限定理的应用考查！ 中心极限定理的选择，再有就是有同学算得！ 有同学刻舟求剑！还以