12.7复数的概念与运算.docVIP

一、选择题 1．(文)(2011·江西文，1)若(x－i)i＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A．－2＋i B．2＋i C．1－2i D．1＋2i [答案]　B [解析]　本题主要考查复数的基础知识，利用复数相等及复数的乘法运算． xi＋1＝y＋2i，所以x＝2，y＝1. (理)(2011·江西理，1)若z＝1＋2ii，则复数z＝(　　) A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i [答案]　D [解析]　本题主要考查复数的运算.－＝1－2i－i＝?1－2i?i－i·i＝2＋i，故选D. 2．(2011·广东理，1)设复数z满足(1＋i)z＝2，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．2＋2i D．2－2i [答案]　B [解析]　本题考查复数的基本概念与运算． ∵(1＋i)z＝2，∴z＝21＋i＝2?1－i?2＝1－i，选B. 3．已知复数z＝3)＋i?1－\r(3)i?2，z是z的共轭复数，则z·z＝(　　) A.14 B.12 C．1 D．2 [答案]　A [解析]　|z|＝3)＋i||1－\r(3)i|＝24＝12. ∴z·z＝|z|2＝14. 4．在复平面内，向量→对应的复数是2＋i，向量→对应的复数是－1－3i，则向量→对应的复数为(　　) A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i [答案]　D [解析]　→＝→＋→＝→－→＝－1－3i－(2＋i) ＝－3－4i. 5．已知z＝(2＋i)(1＋1i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面上所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [分析]　本题主要考查复数的运算．解题时要注意1i＝－i的运用． [答案]　D [解析]　z＝(2＋i)(1＋1i)＝(2＋i)(1－i)＝3－i， 故选D. 6．复数z＋i在映射f下的象为z·i，则－1＋2i的原象为(　　) A．2 B．2－i C．－2＋i D．－1＋3i [答案]　A [解析]　由题意可令f(z＋i)＝z·i＝－1＋2i， ∴z＝－1＋2ii＝2＋i，∴z＝2－i，原象为2－i＋i＝2. 二、填空题 7．已知复数z1＝2－i，z2＝a＋(1－a2)i，在复平面内的对应点分别为P1、P2，→对应复数为－3＋i，则a＝______. [答案]　－1 [解析]　由条件可知z2－z1＝－3＋i， 即(a－2)＋(2－a2)i＝－3＋i， ∴a－2＝－32－a2＝1)，∴a＝－1. 8．若复数a＋3i1＋2i(a∈R，i是复数单位)是纯虚数，则实数a＝________. [答案]　－6 [解析]　a＋3i1＋2i＝?a＋3i??1－2i??1＋2i??1－2i?＝a＋65＋3－2a5i. ∴\f(a＋653－2a5)≠0，∴a＝－6. 三、解答题 9．已知m∈R，复数z＝m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上． [分析]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a0，b0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上． [解析]　(1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R. (2)由\f(m?m－2?m－1m2＋2m－3≠0.解得m＝0，或m＝2. ∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数． (3)由\f(m?m－2?m－1m2＋2m－30， 解得m－3或1m2，故当m－3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限． (4)由m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)＋3＝0， 得m?m2＋2m－4?m－1＝0. 解得m＝0或m＝－1±5. ∴当m＝0或m＝－1±5时，点z在直线x＋y＋3＝0上． [点评]　复数分类的充要性的掌握是解此类题的关键. 复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决实际问题提供了一条重要思路. 注意：要准确理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的一个必要条件是b≠0. 计算中分母不为零也不可忽视. 一、选择题 1．(文)(2011·新课标文，2)复数5i1－2i＝(　　) A．2－i B．1－2i C．－2＋i D．－1＋2i [答案]　C [解析]　本题考查了复数的除法、乘法的运算．“去分母”的方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数． 5i1－2i＝5i?1