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* 正方形 矩形 实验与观察一:折叠矩形纸片 正方形 菱形 实验与观察二:转动菱形模型 1. 正方形的定义 由正方形的定义可知, 正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是 有一个角为直角的菱形。如图(1)。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系! 菱形 矩形 平行四边形 正 形 方 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形。 正方形的性质= 正方形性质: 边: 对边平行 四边相等 角 :四个角都是直角 对角线:相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角。 0D:\我的文档\左信举\j2040600.swf 范例精讲 .已知:如图正方形ABCD对角线AC、BD 相 求证: △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO 交于点O。 例1求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 例2.如图(3),正方形ABCD中,AC、BD相交于O, 分析:要证明BM=CN,大家观察 图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N, 求证:BM=CN。 你能完成证明吗??? AB=BC,∠1=∠2=45 ° 条件够吗? 还需要的条件是 AM=BN △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件? 由正方形可以得到的条件有: 例2.如图(3),正方形ABCD中,AC、BD相交于O,MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N,求证:BM=CN。 证明: ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OB , ∠1=∠2=∠3=45° 又∵MN∥AB ∴∠OMN=∠1=∠3=∠ONM=45° ∴OM=ON ∴OA-OM=OB-ON 即AM=BN 下面大家自己完成证明 练习1. 已知:正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O,且AB=acm,如图(2)。 求:AC的长及正方形的面积S。 练习2. 已知:在正方形ABCD中,对角线AC、 BD相交于点O,且AC=6 cm,如图 求:正方形的面积S。 例3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线 上一点,CE⊥AF于E,交AD于M, 求证:∠MFD=45° 分析: 欲证∠MFD=45°,由于 △MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____ 要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等? 试一试 看能不能完成证明??? △CMD≌△ADF 例3.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,求证:∠MFD=45° 证明: ∵CE⊥AF ∴∠ADC=∠AEM=90° 又∵∠CMD=∠AME ∴∠1=∠2 又∵CD=AD,∠ADF=∠MDC ∴Rt△CDM≌Rt△ADF (AAS) ∴DM=DF 下面的证明请大家完成 练习.如图(5),在AB上取一点C,以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。求证:(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF 证明: 例4.如图(6),△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG,连结BG、CE,交点为N。求证:∠CEA=∠ABG 分析:欲证∠CEA=∠ABG, 大家想一想证明两个角相等的方法, 你有办法了吗???通过自己的努力,看能不能解决问题? 证明:∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。 ∴AE=AB AG=AC ∠1=∠2=90° 又∵∠EAC=∠1+∠BAC=90°+∠BAC ∠BAG=∠2+
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