2014年-理-高考-数列分类汇编.docVIP

数 学 D单元　数列 D1 数列的概念与简单表示法 17．[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a，{b(bn≠0，n∈N)满足a＋1－a＋1＋2b＋1＝0.(1)令c＝，求数列{c的通项公式；(2)若b＝31，求数列{a的前n项和S解：(1)因为a＋1－a＋1＋2b＋1＝0，b(n∈N*)，所以－＝2，即cn＋1－c＝2，所以数列{c是以c＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故c＝－1(2)由b＝31，知a＝(2n－1)31，于是数列{a的前n项和Sn＝1×3＋3×3＋5×3＋…＋(2n－1)×31，3Sn＝1×3＋3×3＋…＋(2n－3)×31＋(2n－1)×3，将两式相减得－2S＝1＋2×(3＋3＋…＋31)－(2n－1)×3＝－2－(2n－2)×3，所以S＝(n－1)3＋1.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a的前n项和为S，a＝1，a，a＋1＝λS－1，其中λ为常数．(1)证明：a＋2－a＝λ.(2)是否存在λ，使得{a为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a＋1＝λS－1，a＋1＋2＝λS＋1－1，两式相减得a＋1(a＋2－a)＝λa＋1因为a＋1，所以a2－a＝λ.(2)由题设，a＝1，a2＝λS－1，可得 a＝λ－1，由(1)知，a＝λ＋1.若{a为等差数列，则2a＝a＋a，解得λ＝4，故a＋2－a＝4.由此可得{a－1是首项为1，公差为4的等差数列，－1＝－3；是首项为3，公差为4的等差数列，a＝4n－1.所以a＝2n－1，a＋1－a＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a为等差数列．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a满足a＝1，＋1＝＋1.(1)证明是等比数列，并求{a的通项公式；(2)证明＋＋…＋＜解：(1)由a＋1＝3a＋1得a＋1＋＝3又a＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以a＋＝，因此数列{a的通项公式为a＝(2)证明：由(1)知＝因为当n≥1时，3－1≥2×3－1，所以，即＝. 于是＋＋…＋＋＋…＋＝. 所以＋＋…＋. 22．[2014·重庆卷] 设a＝1，a＋1＝＋b(n∈N)．(1)若b＝1，求a，a及数列{a的通项公式．(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a＋1对所有n∈N成立？证明你的结论．解：(1)方法一：a＝2，a＝1. 再由题设条件知(an＋1－1)＝(a－1)＋1.从而{(a－1)是首项为0，公差为1的等差数列，故(a－1)＝n－1，即a＝＋1(n∈N)．方法二：a＝2，a＝＋1.可写为a＝＋1，a＝＋1，a＝＋1.因此猜想a＝＋1.下面用数学归纳法证明上式．当n＝1时，结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即a＝＋1，则＋1＝＋1＝＋1＝＋1，这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以a＝＋1(n∈N)．(2)方法一：设f(x)＝－1，则a＋1＝f(a)．令c＝f(c)，即c＝－1，解得c＝下面用数学归纳法证明命题＋1当n＝1时，a＝f(1)＝0，a＝f(0)＝－1，所以aa31，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a＋1易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而＝f(c)f(a2k＋1)f(1)＝a，即＋2再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)(a2k＋2)(a2)＝a，故ca＋3，因此a(k＋1)(k＋1)＋1，这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上，存在 c＝使a＋1对所有n∈N成立．方法二：设f(x)＝－1，则an＋1＝(an)．先证：0≤a(n∈N*)．　　①当n＝1时，结论明显成立．假设n＝k时结论成立，即0≤a易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而＝f(1)≤f(a)≤f(0)＝－11.即0≤a＋1这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立．再证：a＋1(n∈N)．　②当n＝1时，a＝f(1)＝0，a＝f(a)＝f(0)＝－1，所以a，即n＝1时②成立．假设n＝k时，结论成立，即a＋1由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得＋1＝f(a)f(a2k＋1)＝a＋2，(k＋1)＝f(a＋1)f(a＋2)＝a(k＋1)＋1这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N*成立．由②得a2n－1，即(a2n＋1)－2a＋2，因此a2n.　③ 又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)f(a2n＋1)，即a2n＋1＋2所以a2n＋1－1，解得a2n＋1.　④综上，由②③④知存在c＝使a＋1对一切n∈N成立．[2014·安徽卷]数列{a是等差数列，若a＋1，＋3，a＋5构成公比为q的等比数列，则＝_____