集合论I集合的基本概念讲义.ppt

1.4 集合的运算 定义1.10 (并，交，差，补，对称差) (1) A?B={x | x?A或x?B} (2) A?B={x | x?A且x?B} (3) A-B={x | x?A且x?B} (4) ?=U-A (5) A?B=(A-B)?(B-A) 例7 设A={1,2,3,4,5}, B={1,2,4,6}, C={7,8}, U={1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}，求A∪B、 A∩B、 A∩C、A-B、A-C、A补、B补。 解：A∪B={1,2,3,4,5,6}, A∩B={1,2,4}, A∩C=?, A-B={3,5}, A-C=A 1.4 集合的运算 两个表面上非常不同的集合运算式可能是相等的 证明两个集合相等的方法，可归纳如下： 1基本法 集合相等的充要条件是两个集合互为子集；即，左式?右式，右式?左式。所以证明：x?左式?x?右式；x?右式?x?左式。 理论基础：定理1.1和定义1.1, 1.2 2公式法 由集合运算的基本性质，通过推演，进行证明。 理论基础：定理1.4和定义1.10 基本法 例8 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) 证明： 1）A?(B?C)?(A?B)?(A?C) 任一x?A?(B?C)?x?(A?B)?(A?C) 2）(A?B)?(A?C)?A?(B?C) 任一x?(A?B)?(A?C)?x?A?(B?C) 基本法 例9 若A?B, 则(A?B)=A, A?B=B. 证明： 1）证(A?B)=A思想： (A?B)?A； A?(A?B) 2）证A?B=B思想： A?B?B; B?A?B 例10 证明: 1.4 集合的运算 定理1.4 (集合运算的基本性质) (1) 幂等律 A?A=A A?A=A (2) 交换律 A?B=B?A A?B=B?A (3) 结合律 A?(B?C)=(A?B)?C A?(B?C)=(A?B)?C (4) 分配律 A?(B?C)=(A?B)?(A?C) A?(B?C)=(A?B)?(A?C) 1.4 集合的运算 (5) 恒等律 A?U=U A?U=A A??=A A??=? (6) 取补律 1.4 集合的运算 (7) 双重补 1.4 集合的运算 (8) 德?摩根律 以上运算律均可类似于例8，例9，例10获得证明，其证明留作课后练习。 例11. 判断下面命题的真假，为真给出证明，为假给出反例： 若A?B=A?C，则B=C。 /*北京大学1994考研*/ 解：错误。 如果A为空集，则有A?B=A?C，即使B?C，原式成立。 集合相等的证明：公式法 原则： 1）根据集合运算的定义，将集合运算表达式中-和?转换为?和?； 2）将补运算作用到单一集合上，得到中间式； 3）证明 左式的中间式=右式的中间式； 注：上述转化根据定义1.10和定理1.4进行 例12：(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C) 例13 证明(A?B)-(A?C)=A?(B-C) 证明思想：将集合运算表达式中的-转换 例14 证明A?B=(A?B)-(A?B) 证明思想：将集合运算表达式中-和?转换 1.4 集合的运算 定义1.11 (多个集合的并和交) 设集合A1, ……, An，定义： A1?……?An={ x | 至少有某个i，1?i?n，x?Ai }，称为A1, ……, An的并； A1?……?An={ x | x?Ai，对一切i=1,…,n成立}，称为A1, ……, An的交。 1.4 集合的运算 多个集合的运算，除对并（交）的结合律、交换律成立以外，还有 (1) 分配律 B?(A1?A2?…?An)=(B?A1)? (B?A2) ?… (B?An) B?(A1? A2?…? An)= (B?A1)? (B?A2)?…?(B?An) (2) 德?摩根律 第1次作业 1. 证明 2. 对于前面的例11，若 证明必有 3.设A,B,C,D为任意集合，判断以下命题是否恒真。若是请证明，若不是请举一反例 (1) (2) (3) * 离散数学课程介绍 内容：集合论、数理逻辑、图论、代数结构、形式语言与自动机、组合数学、初等数论、Petri网等等 重要性：计算机类最重要的专业