6级数学物理方法（A卷）答案.docVIP

北京邮电大学2007-2008学年第一学期 《数学物理方法》期末试题（A卷）答案与评分标准 一、填空题：（每小题5分，共30分） 1、Laplace变换的定义是（（2分））；线性函数的Laplace变换是（）（3分）。 2、（4分）。 3、函数系是正交系，指的是（）（5分）。 4、在一般情况下，一个数学物理方程的边界条件有（三（2分））类，写出相应的表达式：（6分）。 5、写出三种典型方程的最简形式： 波动方程（）；热传导方程（）；Laplace方程（）（每个2分）。 6、为阶Legendre多项式，则 （2分）。 二、求解下列本征值问题的本征值和本征函数。 （10分） 解 问题的通解是 （2分） 由，得 （2分） 再由，得本征值为， （3分） 其中为第一类Bessel函数的第n个零点；本证函数是 。 （3分） 三、（10分）试求在自变量变换下微分方程： 的新的形式。 解 设则 （3分） （3分） 代入方程得 （2分） 即 （2分） 四、（20分）将下列具非齐次边界条件的定解问题化成具有齐次边界 的定解问题，并求解。 解 令，代入方程有，所以如果取 （1） 可以使方程和边界条件同时齐次化。从（1）中解得 。 （5分） 而v满足 分离变量求得这个定解问题的一般解是 （10分） 由初始条件定得 （3分） 因此定解问题的解是 （2分） 五、（5分）求出下列定解问题的解： 解 由达朗贝尔公式 （2分） 得 （3分） 六．（15分）证明：本征值问题的解，即本征函数 构成一个正交系。 解 设对应于不同本征值的本征函数，则有 （1）（4分） 且满足题设边界条件。（2分）用乘（1）式第一式，乘第二式，两式相减并在上积分，得 （2分） 将上式第一项的积分进行分部积分，有 （4分） 由边界条件知上式为零，因此 （3分） 又因为，所以即本征函数构成一个正交系。 七、(10分) 一个半径为的空心球，若表面充电到电势为，求解球内的电势分布。 已知：，，。 解 球面电势与无关，所以问题是轴对称的。问题的通解为 （1）（3分） 在球内要求故取，（2分） 又由球面上的边界条件，得 （2） 由于，，所以 代入（2）式，比较两边的系数可得， 将这些解代入到（1）式，得问题的解为 （5分）