、分类讨论思想方法.docVIP

04、分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a0、a＝0、a0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax2时分a0、a＝0和a0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 一、方法简解： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若AB，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a1 D. 0a1 2.若a0且a≠1，p＝log(a＋a＋1)，q＝log(a＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。 A. p＝q B. pq C. pq D.当a1时，pq；当0a1时，pq 3.函数y＝＋＋＋的值域是_________。 4.若θ∈(0, )，则的值为_____。 A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5.函数y＝x＋的值域是_____。 A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2] 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。 A. B. C. D. 或 7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。 A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 【简解】1小题：对参数a分a0、a＝0、a0三种情况讨论，选B； 2小题：对底数a分a1、0a1两种情况讨论，选C； 3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}； 4小题：分θ＝、0θ、θ三种情况，选D； 5小题：分x0、x0两种情况，选B； 6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D； 7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C。 二、举例分析： 例1. 设0x1，a0且a≠1，比较|log(1－x)|与|log(1＋x)|的大小。 【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论。 【解】 ∵ 0x1 ∴ 01－x1 , 1＋x1 当0a1时，log(1－x)0，log(1＋x)0，所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝log(1－x)－[－log(1＋x)]＝log(1－x)0; 当a1时，log(1－x)0，log(1＋x)0，所以|log(1－x)|－|log(1＋x)|＝－log(1－x) －log(1＋x)＝－log(1－x)0； 由①、②可知，|log(1－x)||log(1＋x)|。 【注】本题要求对对数函数y＝logx的单调性的两种情况十分熟悉，即当a1时其是增函数，当0a1时其是减函数。去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性。 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. CA∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素。并