_系列选讲(共页)届高三数学全程复习方略(共套)(课标版).docVIP

第十四编 系列4选讲 §14.1 几何证明选讲 基础自测 1.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形DEFC 内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC， AC=1，BC=2，则AF∶FC= . 答案 2.从不在⊙O上的一点A作直线交⊙O于B、C，且AB·AC=64，OA=10，则⊙O的半径等 于 . 答案 2或6 3.设P为△ABC内一点，且=+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比等于 . 答案 4.如图所示，AC为⊙O的直径，BD⊥AC于P，PC=2，PA=8， 则CD的长为 ，cos∠ACB= . 答案 2 5.如图所示，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O， 已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于 . 答案 7 例1 已知：如图所示，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为 邻边作平行四边形ACED，连接EB，DC的延长线交BE于F. 求证：EF=BF. 证明 连接AE交DC于O. ∵四边形ACED为平行四边形， ∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）. ∵四边形ABCD是梯形， ∴DC∥AB. 在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点， ∴F是EB的中点，即EF=BF. 例2 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，F为AB 上任意一点，CF交AD于点E.求证：AE·BF=2DE·AF. 证明 过点D作AB的平行线DM交AC于点M，交FC于点N. 在△BCF中，D是BC的中点， DN∥BF，∴DN=BF. ∵DN∥AF，∴△AFE∽△DNE， ∴=. 又DN=BF，∴=， 即AE·BF=2DE·AF. 例3 （2008·苏、锡、常、镇三检）自圆O外一点P引切线与圆切于点A， M为PA的中点，过M引割线交圆于B，C两点. 求证：∠MCP=∠MPB. 证明 ∵PA与圆相切于A， ∴MA2=MB·MC， ∵M为PA中点，∴PM=MA， ∴PM2=MB·MC，∴=. ∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC， ∴∠MCP=∠MPB. 例4 （14分）如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线 上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的 延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切 点为H. 求证：（1）C，D，F，E四点共圆； （2）GH2=GE·GF. 证明 （1）连接BC.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∵AG⊥FG，∴∠AGE=90°. 又∠EAG=∠BAC， ∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC， ∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180°. ∴C，D，F，E四点共圆. 7分 （2）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线， ∴GH2=GC·GD. 由C，D，F，E四点共圆， 得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD.∴=， 即GC·GD=GE·GF. ∴CH2=GE·GF. 14分 例5 （2008·徐州三检）如图所示，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD=2，AB=BC=3.求BD以及AC的长. 解 由切割线定理得：DB·DA=DC2， 即DB（DB+BA）=DC2， DB2+3DB-28=0，得DB=4. ∵∠A=∠BCD，∴△DBC∽△DCA， ∴=，得AC==. 1.已知：如图所示，从Rt△ABC的两直角边AB，AC向外作正方 形ABFG及ACDE，CF，BD分别交AB，AC于P，Q. 求证：AP=AQ. 证明 ∵∠BAC+∠BAG=90°+90°=180°, ∴C,A,G三点共线.同理B,A,E三点共线. ∵AB∥GF,AC∥ED,∴=，=， 即AP=，AQ=. 又∵CA=ED=AE，GF=BA=AG， ∴CG=CA+AG=AE+BA=BE. ∴AP=AQ. 2.如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP是 ∠BAC的外角的平分线，弦CE的延长线交AP于点D.求证： AD2=DE·DC. 证明 连接AE，则∠AED=∠B. ∵AB=AC，∴∠B=∠ACB. ∵∠QAC=∠B+∠ACB， 又∠QAP=∠PAC， ∴∠DAC=∠B=∠AED. 又∠ADE=∠CDA， ∴△ACD∽△EAD， 从而=， 即AD2=DE·DC. 3.（2008·南京第二次质检）如图所示，