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分类讨论思想（2） 第2讲 一、概述与要点 用分类讨论的思想方法分析、解决问题，有利于培养全面完整考虑问题的习惯和能力. 本讲主要内容： 1、两圆相切的位置关系包括两圆内切和外切. 2、两圆内切时，不知道两圆半径的大小，应考虑圆心. 3、相交两圆的半径已知，公共弦长已知时，两圆圆心与公共弦有两种位置关系：（1）两圆心在公共弦的两旁;（2）两圆心在公共弦的同旁. 4、对图形开放题，要仔细审题，全面思考，切忽遗漏. 二、例题选讲 例1、直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于__________ .（04年上海考题） 分析 8这条边既可看作直角边也可看作斜边，所以这个三角形的外接圆半径有二种可能性. 答：4或5 例2、矩形ABCD中，AB=5，BC=12，如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 （03年上海考题）. 分析 对“相切”条件考虑不周，就出现漏解现象. 解：设圆C的半径为，则由题意得12 当圆A与圆C外切时，+=13. ∴513－12. 得 18. 当圆A与圆C内切时, －=13. ∴5－1312. 得 1825. 故r的取值范围是 18或1825. 例3 已知半径分别是17cm和10cm，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB的长是16cm，求圆心距0102的长. 分析 注意对图形位置的讨论，即要分圆心在公共弦的同旁及两旁两种情况. 图5－2 解：分两种情况求解 （1）当圆心O1、O2在AB的两旁时，连结01A、O2A（如图5-1） ∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴0102垂直平分AB，设垂足为C. 则 AC=8cm，在Rt⊿AO1C中，O1C==15（cm）. 同理，在Rt⊿AC O2中，求得O2C=6（cm）. ∴ 0102=15+6=21（cm） （2）同理当圆心O1、O2在AB的同旁时（如图5-2） 0102=15－6=9（cm） ∴ 圆心距0102的长为21cm或9cm. 例4 如图5-3，已知AB是圆O的直径，AC是弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦AD，使AD=1，并求出∠CAD的度数（98年上海考题） 分析考虑点D的位置，有两种不同的情形. 解：连结BC ∵AB是直径，∴∠ACB=90°，cos∠CAB=，∴∠CAB=45°.画出AD. （1）当AD和AC在AB两侧时，如图5-4，连结OD ∵OA＝OD＝AD＝1 ∴△OAD是等边三角形，得∠OAD＝60°. 　　　 ∴∠CAD＝∠OAD+∠CAB＝60°+45°=105°. (2) 当AD和AC在AB的同侧时，如图5-5，同理∠OAD＝60°， 　　　∴∠CAD ＝∠OAD－∠CAB ＝60°－45°＝15°. 例5、已知直线y=－x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为x轴上可移动的点，且点P在点A的左侧，过P作x轴的垂线交y=－x+6于M，有一动圆O′，它与x轴，直线PM和y=－x+6都相切且在x轴上方，且⊙O′与y轴也相切时，求满足上述条件的点P的坐标. 分析 本题是一个运动变化探索题，也是一个图形开放题，从点P的位置移动中找出符合题设条件的三种情况是解决本题的关键. 解 直线y=－x+6与x轴交点A（6,0），与y轴交点 B（0,6）满足题设条件有以下三种情况： （1）若直线PM与y轴重合（见图5－6），则⊙O′ 为△AOB的内切圆，P点坐标为（0，0） （2） ⊙O′在y轴右侧，PM在⊙O′右侧（见图5－7），设r为⊙O′的半径，AB=6, 点P坐标为 （3）⊙O′在y轴左侧，PM在⊙O′左侧（见图5－8），设r为⊙O′的半径，⊙O′切x轴于C，切PM于D，切AM于E，AP＝MP＝6＋2r，MA＝（6＋2r） MA=ME+EA=6+r+6+r=12+2r ∴12+2r=(6+2r)·,r=3,即点P坐标为(-6,0) 　　　　　　　　　 三、习题精选 1、在Rt△ABC中，已知两条边长分别为5㎝和12㎝，则第三条边长的________㎝. 2、等腰三角形一个内角是70°，则其余两个内角的度数是__________°. 3、等腰三角形的两条边分别是5㎝和9㎝，那么它的周长是__________cm. 4、如果圆O与圆O’相切，圆O的半径是3，圆心距OO’=5，那么圆O’的半径的_______. 5、已知两圆内切，一个圆心半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是_____. 6、⊙O与 ⊙O’相交于点A、B， ⊙O的半径为15　cm，⊙O’ 半径为13cm，AB=24cm，求OO’的长. 7、在Rt△ABC中，∠A=90°,A