北京市朝阳区2011届高三第一次综合练习数学（理）试题.docVIP

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题（理工类） 2011.4 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 注意事项： 1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．，，则等于 （A） （B） （C） （D）{，} 2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A）8，8 （B）10，6 （C）9，7 （D）12，4 3．极坐标方程化为直角坐标方程是 （A） （B） （C） （D） 4．已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和．若，，则的值是 （A）511 （B） 1023 （C）1533 （D）3069 5．函数的单调增区间是 （A） （B） （C） （D） 6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三 角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于 （A） （B） （C） （D） 7．如图，双曲线的中心在坐标原点， 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点.若双曲线的离心率为2，则的余弦值是 （A） （B） （C） （D） 8．定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, 的长度. 用表示不超过的最大整数，记，其中. 设，，若用分别表示不等式，方程，不等式解集区间的长度，则当时，有 （A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数，，则等于 . 10．在二项式的展开式中，第四项的系数是 . 11．如右图，在三角形中，，分别为，的中 点，为上的点，且. 若 ，则实数 ，实数 . 12．执行右图所示的程序框图，若输入， 则输出的值为 ． 13．如下图，在圆内接四边形中, 对角线相交于 点．已知，，， 则 ，的长是 ． 14．对于各数互不相等的整数数组 (是不小于3的正整数)，对于任意的，当时有，则称，是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组中的逆序数为，则数组中的逆序数为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分） 在中角，所对的边分别为，．. （Ⅰ）求； （Ⅱ）当，且时，求. 16．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面. 若. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角的余弦值. 17．（本小题满分13分） 在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每的概率是．（）的数学期望（）（）6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙的概率甲的概率18．（本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间； （Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围； （Ⅲ）记.当时，函数在区间上，求实数的取值范围19．（本小题满分14分） 已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率； （Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明． 20．（