四年级 奥数 讲义 100学子 教案库 07年春小4 第7讲 基础学生.docVIP

第七讲 包含与排除 内容概述 同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题： (1) 如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？ (2) 如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗？ 聪明的同学马上就会发现： (1) 两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。 (2) 四个角上的点，每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝20(个)点。 这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成： |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|， 我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。 图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。 　　 包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。 例题精讲 一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 幼儿园有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？ 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ 　 1至100的自然数中： （1）是2的倍数又是3的倍数的数有多少个？ （2）是2的倍数但不是3的倍数的数有多少个？ 在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？ 全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问：仅会打羽毛球的有多少人？ 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ （第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 三年级科技活动组共有63人。在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。每个同学都至少完成了一项活动。问：同时完成这两项活动的同学有多少人？ 习题七 1．把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？ 2．某校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人。这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？ 3.一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了。一班有多少人两项比赛都没有参加？ 4．四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。 （1）问语文数学都写完的有多少人？ （2）只写完语文作业的有多少人？ 5.在自然数1～100中，能被3或5中任一个整除的数有多少个？ 　 数学童话 伪慈善家　　大灰狼在一次动物集会上，洋洋得意的说：“在昨天，我把抓到的50只兔子施舍给了10只可怜的狐狸。我不是平均分给它们的，而是根据它们饥饿 不同程度进行施舍的。因此，它们每个得到的兔子只数都不相同。”　　“50只兔子”，这么大的施舍数目，如此慷慨解囊扶贫济困行为，真是令人望尘莫及。在场的许多肉食动物们听了，都称赞大灰狼这种慈善之举。一时间，大灰狼成了大众关注和称赞的新闻人物。　　小老虎听了这件事以后，