四年级 奥数 讲义 115学子 教案库 07年春小4 第10讲 提高教师.docVIP

第十讲 乘法原理与加法原理 乘法原理 一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法 ，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。有5个人排成一排照相，有多少种排法？5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法 ：5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法；第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有5×4×3×2×1=120种排法。个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置，类似的方法可得共有5×4×3×2×1=120种排法。这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似的分析可知共有4×3×2×1=24种排法。这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安排其它的4人，类的分析，有4×3×2×1=24种方法，根据乘法原理，共有2×（4×3×2×1）=24×2=48种排法2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 分析：（1）此题学生容易错写为5×４×３；放一本课本看成一个步，则可分为五步，故5×5×5=125种. （2）共有4×3×2=24（种）. （3）要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取3、5、7中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的6个数字中取一个，有6种取法；百位上有5种取法；千位上有4种取法，故可由乘法原理解决．所以，由2、3、4、5、6、7、8共可组成3×6×5×4=360个没有重复数字的四位奇数． （小数报数学竞赛初赛某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如图．现用红、黑、绿、 分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5×4×3×3×3×3×3=4860种不同的染色方法． （1）（迎春杯决赛如图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在 （2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛在图中放四个棋子“兵”，使得每一列有一个“兵”，每一行至多有 分析： （1）设甲方先放棋子，乙方后放棋子．那么甲可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有10×9=90种不同的放置法．对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲棋子所在的行与列，而放置在剩下的任意位置，所以乙方有9×8=72种不同的放置方法．因此，总共有72×90=6480种不同的放置方法．第一列有2种放法．第一列放定后，第二列又有2种放法．…如此下去，共有2×22×2=16种不同的放法．10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 分析：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有29＝512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。 （第十五届《迎春杯》决赛如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？，三位数为容易得到a＝1，b＋e＝9，（e≠0），c＋f＝9，d＋g＝9。为了计算这样的四位数最多有多少个，由题设条件a，b，c，d，e，f，g互不相同，可知，数字b有7种选法（b≠1，8，9），c有6种选法（c≠1，8，b，e），d有4种选法（d≠1，8，b，e，c，f)。于是，依乘法原理，这样的四位数最多能有（7×6×4=）168个。k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法 ，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法。 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。 小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级