四年级 奥数 讲义 16 学子 教案库 2、精英教师.docVIP

第二讲 加法原理 本讲主要教学目标有 ①使学生掌握加法原理的基本内容； ②掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； ③培养学生对分类讨论问题的能力，了解分类主要方法和遵循的主要原则. 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯. 答案提示:先分尖角向上与向下两类： 向上的有：1个三角形组成的：10个； 4个三角形组成的：6个； 9个三角形组成的：3个； 16个三角形组成的：1个。 向下的有：1个三角形组成的：6个； 4个三角形组成的：1个。 所以，一共有:27个。 Ⅰ、分类讨论问题中加法原理应用 【例1】（★★）学校四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人。从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？ 分析：解决这个问题有3类办法：分别从一班、二班、三班男生中选1人。从四年一班中任选1人有18种选法：同理，从二班20名中中任选1人有关20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；所以根据加法原理，从四年级3个班中任意选一名男生当升旗手的方法有： 18+20+16=54（种） [拓展1]学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本，那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？ 分析：小明选一本书有三类方法，根据加法原理小明借一本书有150+200+100=450种方法. [拓展2]小明如果要选两本书不同类的书有多少种选法？ 分析：两本不同类的书可以有外语书+科技书、外语书+小说、科技书+小说三类组合，各类组合分别有150×200=30000种、150×100=15000种、200×100=20000种，一共有65000种选法. 思考：小明如果要选三本不同类的书有多少种选法，需要使用加法原理吗？ 【例2】（★★）从3，5，7，11，19五个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数？ 分析：如果3作分子：5，7，11，19都可以作为分母，四个真分数； 如果5作分子：7，11，19可以做分母，三个真分数； 如果7作分子：11，19可以做分母，两个真分数； 如果11作分子：只有19可以作分母，一个分数． 4+3+2+1=10，可以组成10个真分数． [评注]注意到一种“对称性”，这里的真分数与假分数是一样多的。所以，只要考虑到“五排二”的关系，再除以2；或者考虑到“五选二”，只要有一组，必有一个真分数。所以这道题运用乘法原理也可以解：5×4÷（2×1）=10. [拓展]从3、5、7、10、12五个数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个最简真分数？ 分析：如果3作分子：5、7、10都可以作为分母，三个最简真分数； 如果5作分子：7、12都可以作为分母，二个最简真分数； 如果7作分子：10、12都可以作分母，二个最简真分数； 如果10作分子：没有哪个数能作分母使成为最简真分数. 所以一共可以组成3+2+2=7个真分数. 【例3】（★★★）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24． 问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个? 分析：小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是5．于是 百位为5时，只有1599一个； 百位为6时，只有1689，1698两个； 百位为7时，只有1779，1788，1797三个； 百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个； 百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个； 总计共1＋2＋3＋4＋5=15个． 【例4】（★★★★）某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会。从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？ 分析：分两类情况讨论： 都会的这1人被挑选中，则有： 如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有 3种方法，再选2名电工也有3种方法；所以有3×3=9（种）。 同样，这人做电工，也有9种方法。 都会的这一人没有被挑选，则也有3×3种方法。 所以一共有9+9+9=27(种)方法。 【例5】（★★★★）把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？ 分析：（一）甲最少分到