四年级 奥数 讲义 24 学子 教案库 3、精英教师.docVIP

第三讲 加、乘原理综合运用 复习乘法原理和加法原理； 培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力； 引导学生对排列组合知识的入门学习. 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步. 并了解与加、乘原理的常见题型：数论类问题（例1、例2、例3、例4）、染色问题（例5、例6）、图形组合（例7、例8），并引导学生排列组合入门（例9、例10、例11、例12）. 分析：四个白球排成一行有5个空位置供三个红球选择， 不同的排法共有5×4÷2=10（种） 在很多竞赛题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步. Ⅰ、加乘原理与数论 （★★）用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数. 分析：无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法. （方法一）分两步完成： 　　第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法. 　　第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法. 由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个. （方法二）组成的四位数分为两类： 　　第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个. 　　第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个. 由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个. （方法三）从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个，所以共有满足条件的四位数：10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个. [拓展一]用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：分为两类：个位数字为0的有3×2= 6个，个位数字为 2的有 2×2=4个，由加法原理，一共有：6+4=10个没有重复数字的四位偶数 [拓展二]用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？ 分析：分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4×4=16个，三位数时，为：4×4×3=48个，由加法原理，一共可以组成5+16+48=69个小于1000的没有重复数字的自然数. （★★）自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同.这样的数共有多少个？ 分析：两个相同的数字是8时，另一个8有3个位置可选，其余两个位置有 9×8＝72（种）填法，有 3×9×8个数； 8时，相同的数字有9种选法，不同的数字有8种选法，并有3个位置可放，有9×8×3个数. 3×9×8＋9×8×3=432（个）数. 5的三位数有 5×6×6=180（个），三个数码都不小于5的三位数有 5×5×5=125（个），三个数码都等于5的只有 555一个.所求自然数共有 900-（180＋125－1）= 596（个）.0或无0分为两类. 1）有0时，四个数码的取法有2×3=6（种），可组成四位数6×（3×3！）=108（个），其中偶数60个； 2）无0时，四个数码的取法有1×3=3（种），可组成四位数3×4！＝72（个），其中偶数36个. 108＋72=180（个），其中偶数60＋36=96（个）. 分析：先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与的颜色搭配有×3=9（种），其中有种E和同色，有种E和异色.最后染F，当E与同色时有3种颜色可选，当E与异色时有 2种颜色可选，所以共有 5×4××（×3＋×2）=840（种）染法； 在一个圆周上10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的三角形分析由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取个点就可以画出一个三角形 [前铺]一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？ 分析：（方法一）所有的三角形一共可以分为3类， 第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7×6×5÷（3×2×1）=35种； 第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7×6÷（2×1）×5=105种； 第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7×5×4÷（2×1）=70种；