四年级 奥数 讲义 32 学子 教案库 4、精英教师.docVIP

第四讲 定义新运算 这一讲我们主要学习定义新运算的三大计算类型： 1、理解并熟练掌握根据新的定义运算方式进行加减乘除运算； 2、理解并熟练掌握根据计算机编程语言计算输出结果； 3、了解其它类型的定义运算． 分析：因为狼△狼＝狼，所以原式＝羊△(狼☆羊)☆羊△狼 无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式＝狼 直接运算型 （★★★奥数网题库）两个整数a和b，a除以b的余数记为ab.例如，135=3.根据这样定义的运算，计算： （1）(269) 4等于多少？ （2）108（200819） 分析：（1）因为：26÷9=2……8，8÷4=2，所以 (269)4=84=0 （2）因为：2008÷19=105……13，108÷13=8……2，所以 108（200819）=10813=4 [前铺]定义运算“⊙”如下：． 计20062008 计算159，1（59）， 分析：（教师先告诉学生表示（a+b）÷2） （1＝2008； ＝2007 （2）159＝9＝39＝＝6 1（59）＝1＝17＝＝4； （★★★奥数网题库）定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b）， 求5※7，7※5； 求12※（3※4），（12※3）※4； 这个运算“※”有交换律、结合律吗？ 分析：（1）5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23. 　　 （2）要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43. 对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59. （3）由于a※b＝a×b－（a＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律），　所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由（2）的例子可知，运算“※”没有结合律. [巩固]定义新的运算，求： （1）， （2）， （3）这个运算有交换律吗？ 分析：（1）=6×2+6+2=20；=2×6+2+6=20 （2）=（1×2+1+2）3=53=5×3+5+3=23； =1（2×3+2+3）=111=1×11+1+11=23 （3）由于=（普通加法、乘法交换律），所以，即满足交换律. [拓展]如果a、b、c是三个整数，则他们满足加法交换律和结合律，即a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）．现在规定一种运算“*”，它对于整数a、b、c、d满足：（a，b）*（c，d）＝（a×c＋b×d，a×c－b×d）．例如：（4，3）*（7，5）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13）．请你举例说明：“*”运算是否满足交换律和结合律． 分析：（7，5）*（4，3）＝（4×7＋3×5，4×7－3×5）＝（43，13），所以“*”运算满足加法交换律， （2，1）*（3，2）*（3，4）＝（2×3＋1×2，2×3－1×2）*（3，4）＝（8，4）*（3，4）＝（3×8＋4×4，3×8－4×4）＝（40，8） ；（2，1）*[（3，2）*（3，4）]＝（2，1）*[3×3＋2×4，3×3－2×4]＝（2，1）*[17，1]＝（2×17＋1×1，2×17－1×1）＝（35，33）．所以，（2，1）*（3，2）*（3，4）≠ （2，1）*[（3，2）*（3，4）]，因此 “*”不满足结合律． （★★★奥数网题库）我们规定：＝ad+bc，求 的值． 分析： ＝25×21+40×16＝525+640＝1165 [巩固]我们规定： ＝ad－bc，例如： ＝2×4－1×3＝8－3＝5． 求 的值． 分析： ＝4×10－5×6＝40－30＝10 （★★★南京市第二届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 （★★★★奥数网题库）定义“*”的运算如下：对任何自然数a、b，如果a＋b是3的倍数，则a*b＝，如果a＋b除以3余数为1，则a*b＝，如果a＋b除以3余数为2，则a*b＝. 求：（2005*2006）*（2007*2008） 分析：因为2005+2006=4011是3的倍数，所以2005*2006=4011÷3=1337，因为2007+2008=4013，4013÷3=1337…2，所以2007*2008=(4011-2）÷3=1337，因为1337+1337=2674，2674÷3=89