四年级 奥数 讲义 50 学子 教案库 6、基础教师.docVIP

第六讲 数阵图 数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点： 1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断； 2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法； 3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力； 4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力. 分析：假设角上有a名士兵，由四条边上的士兵相加，得：4×150=360+a×4，得a=60，所以得到兵力分配如图： 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格） 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍. 第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和. 第四步：运用已经得到的信息进行尝试： 数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键. （一）封闭型数阵问题 （★★）小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的内，使三角形每边上的三数之和都等于 分析：因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图. 亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的. （2）设计问题：三角形每条边之和是11，11×3=33，但是所有数的和是：1+2+…+5+6=21，为什么会出现结果不同的问题呢？仔细观察这个数阵，三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加了一次，也就是说三个角上的数是重复数，33-21=12即为这三个重复数的和. （3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和之后，下一步就要先确定这三个数，采用分组法和试验法.分组法是将这个和根据要求拆成三个数，例如本题中如果两个数的和为11，那么将无法填第三个数，所以，1、5、6这一组就不符合，所以12=2+4+6=3+4+5，除此之外还需要采用试验法，将它们一一进行试验. （4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现. [拓展]把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13． 或 分析：因为每边上的和为13，那么四条边上的数字之和为13×4=52，而1+2+…+7+8=36，所以四个角上的四个数之和等于52-36=16．在1～8中选四个数，四数之和等于16，且其中任意三个的和不等于13的只有：16=1+2+6+7=1+2+5+8=1+4+5+6．经试验，只有右上图的两种填法． （★★★）请分别将1，2，4，6这4个数填在图的各空白区4个数的和都等于15． 分析：5+7=12，3+7=10，3+5=8，三个圆中已有数的和与15的差分别是3、5、7，只有1能和其他三个数的和分别是3、5、7，所以中间数一定是1，由和为15，其它三个数即可得，见右上图. [拓展]如下图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.  分析：经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如： （26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.所以x+18=17×2，x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20. （★★★）小白兔在森林里玩耍，突然发现一个发光的东西，走近一看是一个带有奇妙数阵图的树桩，上面写着如果你能在下图的六个○内各填入一个质数（可取相同的质数），使它们的和等于20，而且每个三角形（共5个）顶点上的数字之和都相等，那么你就是一个聪明人，小白兔很快得出答案，你能吗？ 分析：因为大三角形的三个顶点与中间倒三角形的三个顶点正好是图中的六个○，又因为每个三角形顶点上的数字之和相等，所以每个三角形顶点上的数字