四年级 奥数 讲义 52 学子 教案库 6、精英教师.docVIP

第六讲 数阵图 数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点： 1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断； 2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法； 3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力； 4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力. 分析：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1—9的和，再加上两两重叠处的四个数之和. 1+2+…+8+9=45，而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15.当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解. 　 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格） 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍. 第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和. 第四步：运用已经得到的信息进行尝试： 数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键. （一）封闭型数阵问题 （★★★）将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围. k=9 k=10 k=11 k=12 分析：设三角形三个顶点的数字之和为s.因为每个顶点属于两条边公有，所以把三条边的数字和加起来，等于将1至6加一遍，同时将三个顶点数字多加一遍.于是有（1+2+3+4+5+6）+s=3k，化简后为s+21=3k.由于s是三个数之和，故最小为1+2+3=6，最大为4+5+6=15，由此求出9≤k≤12.s和k有四组取值： 　　　 　　通过试验，每组取值都对应一种填数方法（见右上图）. 亮点设计：(1)求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的. （2）设计问题：三角形每条边之和等于1～6的和吗？为什么？ 不等于，因为三条边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加了一次，也就是说三个角上的数是重复数，三个重复数的和可求为：3k-（1+2+…+5+6）=3k-21. （3）强调分组法与试验法：知道了三个数的和，通过分组可以知道k的取值范围，进一步采用试验法，将它们一一进行试验，选择正确的结果. （4）小结：对于封闭型的数阵，重复数基本上都是两条线相交的点，这在后面的例题中有大量体现. [前铺]将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11． 分析：因为每边上的和为11，那么三条边上的数字之和为11×3=33，而1+2+…+5+6=21，所以三个角的三个数之和等于33-21=12，在1～6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5，经试验，填法见右上图. （★★★）小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？ 分析：先确定中间5个重复数，它们的和为（20+16+12+13+10）-（1+2+…+10）=16，所以中间5个重复数只能是1，2，3，4，6的组合.又因为有1个三角形三个顶点和为20，相应三角形上的三个数只能是4，6，10，我们逐一试验，答案如右上图. [巩固一]将数0，1，2，…，9分别填人其中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶点上的数之和相等，你能做到吗？ 分析：0+…+9=45，45-中心数=3个阴影三角形的3个顶点上的数字之和，所以中心数必须是3的倍数，只能是0，3，6，9.枚举法实验，中心数只能是3，6，答案如右上图. [巩固二]有八个点如图分布，这八个点互相之间形成若干矩形和正方形，如何在这八个点上填上1到8之间的一个数，使得每个点上的数都不同，并且，所有矩形（包