四年级 奥数 讲义 70 学子 教案库 07年春小4 第2讲 基础教师.docVIP

第二讲 三角形的等积变形 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： 等底等高的两个三角形面积相等． ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。 例题精讲 【例1】 如右图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线长。 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 分析：因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是： 三角形ABD的面积=12×高÷2=6×高 三角形ABC的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC的面积=4×高÷2=2×高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4/3倍；三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 巩固理解结论：两个三角形等高时， 面积的倍数=底的倍数 【例2】 如右图，E在AD上，AD垂直BC， AD=12厘米，DE=3厘米。 求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 分析：因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形EBC的高， 于是： 三角形ABC的面积=BC×12÷2 = BC×6 三角形EBC的面积=BC×3÷2 = BC×1.5 所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍。 巩固理解结论：两个三角形等底时， 面积的倍数=高的倍数 【例3】用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 分析：法1：如图（1），将BC边四等分，连接各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC面积相等。 法2：如图（2），D是BC的二等分点，E、F是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE． ?法3：如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD面积相等。 　 【例4】如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。 分析：三角形ADC的面积是三角形ABC面积的一半24÷2=12， 三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12÷2=6。 三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半， 所以三角形FED的面积=6÷2=3 。 【例5】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为的中F=2CF，三角形FE(图中阴影部分)的面积为8平方厘? 分析：连结F面积是三角形面积的2倍，而三角形面积是三角形面积的倍，所以三角形面积是面积的3倍；又因为平行四边形的面积面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形FE面积的(3×2)=6倍．因此，平行四边形的面积为8 ×6=48(平)．【例6】 图中AOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，梯形ABCD的面积分析： 【例7】 如右图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC，求阴影部分面积占三角形面积的几分之几？ 分析：连结BG，在△ABG中， 　 　　 　∴ S△ADG+S△BDE+S△CFG 　 　【例8】 如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形． 分析：本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面