四年级 奥数 讲义 65 学子 教案库 07年春小4 第1讲 基础教师.docVIP

第一讲 格点与面积 内容概述 同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格在一张纸上，先画出一些水平直线(通常规定是1个)，这样在纸上就形成了一个方格中的，格点多边形与格点数目有?下面来探讨这问题 如右图，计算各个格点多边形的面积. 分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了. 法一：第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）. 法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成平置的长方形来求。这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！ 如图（3），我们利用“扩展法”将其转化成右图（3），从图中易知三角形面积是长方形面积的一半。 如右下（4）图，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积。 （5）、（6）也可利用同样的思想。在这个过程中，我们可以帮助学生进一步体会几何图形面积的推导过程，强化数学思路。 如右图（a），计算这个格点多边形的面积.分析：法一：扩展法。这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下图（b），这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积. 6×4=24 ；直角三角形Ｉ的面积是：6×2÷2＝64×2÷2=4 ；直角三角形Ⅲ的面积是：4×2÷2=4 ；所求三角形的面积是： 24-（6＋4＋4）=10（面积单位） 法二：割补法。将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如（c）图。 因此三角形的面积是：5×2÷2+5×2÷2＝10（面积单位）。 （1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算的面 分析：扩展法。把所求三角形扩展置正方形ABCD中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的△AEF；另外三个分别是：△ABE、△FEC、△DAF，都有一1.5cm2，2cm2，15cm2．所以，图中阴影部分的面积为×3－(1.5×2+2)=4(cm2)． 分别计算图中两个格点多边形的面积 分析:利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到（1）、（2）的面积均为10面积单位。 从计算上我们看到两个图形面积相等.除此之外，界上的格点数相等，都是个它们包含在图形内的格点数也相等，都是个.S=N+L/2-1 。 毕克定理：若一个格点多边形内部有个格点，它的边界上L个格点，则它的面积S=N+L/2-1． 本讲开始提到的图 “乡村小屋”的面积根据毕克定理 N+L/2-1=18（单位面积）。 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试)第一届保良局亚洲区城市小学数学 分析：要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出7”内部有两个格点，而数字“”和“”内部都没有 7所占的面积为2+15÷2-1=8.5；2所占的面积为24÷2-1=11；1所占的面积为17÷2-1=7.5．所以，这三个数字所占的面积之和为8.5+11+7.5=27． 右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的 面积是多少? 分析: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19. 所以图形的面积为:59+192-1=67.5(面积单位). 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少? 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？ 分析: 面积等于1平方厘米的三角形有32个. 面积等于2平方厘米的三角形有8个. （1）面积等于1平方厘米的分类统计如下: ① ② ③ 底为2,高为1 底为2,高为1 底为1,高为2 3×2=6(个) 3×2=6(个) 3×2=6(个)