新课标九年级数学竞赛辅导讲座_第三讲_活力的韦达定理.docVIP

第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的． 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】 【例1】 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 思路点拨 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果、都是质数，且，，那么的值为( ) A． B．或2 C． D．或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到、的关系，由于两个等式结构相同，可视、为方程的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于、的对称式，这类问题可通过变形用+、表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式． 【例3】 已知关于的方程： (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、． 思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手． 【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值． 思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的． 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性． 【例5】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的长是关于的方程的两个根． (1)当m＝2和m2时，四边形ABCD分别是哪种四边形?并说明理由． (2)若M、N分别是AD、BC的中点，线段MN分别交AC、BD于点P，Q，PQ＝1，且ABCD，求AB、CD的长． (2003年哈尔滨市中考题) 思路点拨 对于(2)，易建立含AC、BD及m的关系式，要求出m值，还需运用与中点相关知识找寻CD、AB的另一隐含关系式． 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性． 学历训练 1．(1)已知和为一元二次方程的两个实根，并和满足不等式，则实数取值范围是 ． (2)已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是 ． 2．已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 3．CD是Rt△ABC斜边上的高线，AD、BD是方程的两根，则△ABC的面积是 ． 4．设、是关于的方程的两根，+1、+1是关于的方程的两根，则、的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于 的方程的两根，那么AB边上的中线长是( ) A． B． C．5 D．2 6．方程恰有两个正整数根、，则的值是( ) A．1 B．-l C． D．