春小学五年级 第讲 计数问题 系统复习班 教师版.docVIP

在日常的生活和数学竞赛中，经常会遇到计数问题，而一些常用的计数还是有规律可寻的，我们不妨总结一下. 图形计数中常见的几类： 1、 数线段、三角形，（锐）角的 ① 我们可以按照线段的左端点的位置分为A，B，C三类.如下图所示，以A为左端点的线段有3条，以B为左端点的线段有2条，以C为左端点的线段有1条.所以共有3＋2＋1＝6(条). 　　② 我们也可以按照一条线段是由几条小线段构成的来分类.如下图所示，AB，BC，CD是最基本的小线段，由一条线段构成的线段有3条，由两条小线段构成的线段有2条，由三条小线段构成的线段有1条. 线段的条数与图上的点存在一定的关系.中共有4个点，线段的条数为=6(条).由此，我们可以推广到一般情况：如果图中有个点，那么线段的条数为 (N-1)+(N-2)+(N-3)+…+3+2+1 即： 第一个图中三角形的个数是：3+2+1=6（个），第二个图中锐角的个数是：4+3+2+1=10（个） 数三角形、数角的方法与数线段的的方法相似，所以计算线段总条数的公式，同样也适用于数三角形和数（锐）角. 2、数长方形的个数. 以BC为宽的长方形有5+4+3+2+1=15(个)(CD上有一条线段就有一个以BC为宽的长方形)；AB、AC为宽的长方形有15个.共有长方形15+15+15=45(个). 注意到在AC上有几条线段就有几个不同的宽 (5+4+3+2+1)×(2+1)=45(个)由此，我们可以推广到一般情况：(n+…+3+2+1)×(m＋…+3+2+1)． 图中共有正方形93+8×2+7×1=50(个)．由此，我们可以推广到一般情况：如果n等份，另一条边被m等份，且长和宽上的每一份相等，那么这个长方形中正方nm+(n－1)(m－1)+(n－2)(m－2)+…+(n－m+1)×1(其中n≥m)． 图中共有正方形n等份，那么这个n2+(n一1)+(n一2)+…+32+22+12． 数一数图中有多少条线段? 仔细观察图2—1—2，不难发现其中一共有50个点， 【分析】图中共有线段： 49+48+47+46+…+3+2+1 =50×(50—1)÷2 =1225(条) 说明：如果要计数的线段是共线线段，只要数出其中共有几个 【巩固】数一数，右图中共有线段条．AG，AB中共有线段 (3+2+1)×2=12(条) EF，CD，BC，AC中共有线段 (2+1)×4=12(条) 所以，总共有线段 12+12=24(条)． 【分析】仔细观察图的两个图形可以发现：每个三角A点引出的，而第三条边是BC或上的线BC或H上线段的条数就与三角形的个数一一对应了．于是 先看图(1)，根据数线段的规律可知，BC边上共有(5+4+3+2+1)=15条线段，也就是说图(1)中有15个三角形． 再看图(2)，它仅仅是在图(1)的基础上又画了一条割线所构HI边上也有15条线段，因此以H边上的线段15个，所以图(2)中共有(15×2)=30个 解：(1)5+4+3+2+1=15(个) (2)(5+4+3+2+1)×2=30(个) 北京市第七届“迎春杯”决赛下图中共有个正方形 【分析】这个图可以先看成是3个没有重叠的4×4正方形来数，然后再把重叠的部分2个2×2正方形的个数减掉.这就利用了多退少补的方法. 每个4×4正方形中有： 边长为1的正方形4个；边长为2的正方形3个； 边长为3的正方形2个；边长为4的正方形1个； 总共有 42+32+22+12=30(个) 正方形．现有个4 4的正方形，它们重叠部分是个2 2的正方形．因此，图中正方形的个数是30×—5×2=80（个） （南京市第届“兴趣杯”少年数学邀请赛数一数，中三角形共有个．利用对称性，分情况计算． 类似于△ABH的三角形共有6个； 类似于△AGH的三角形共有6个； 类似于△ABJ的三角形共有12个； 类似于△ABC的三角形共有6个； 类似于△AEC的三角形共有2个． 于是，图中共有三角形6+6+12+6+2=3(个)．图中有多少个平行四边形? 【分析】这个题要用分类法来计数，不妨把图转变为2来讨论．仔细观察和分析图2可以从以下两个方面来(1)平行四边形的方向，图中阴影部分图形代A、B、C类(2)平行四边形所含基本平行四边形的个数．下面我们列表 图中平行四边形的个数为：(6+6+2+1)×2+(5+4)39(个)． 说明：在用分类法计数图形时，如何合理地选择分类的标准是 1、关于排列