角平分线的性质及应用分解.ppt

角平分线的性质及应用 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，这个集贸市场应建在何处 画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB的平分线OP, 过P作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB 问题：①比较PD和PE 的大小关系（量一量）。 PD=PE ②再换一个新的位置看看情况会怎样？ 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） 回味无穷 性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 几何语言： ∵OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E( 已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). * 驶向胜利的彼岸 旧知回顾 角的平分线的定义是什么？ 旧知回顾 已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。 A B O A Ｂ Ｏ Ｍ Ｎ Ｃ 画法： 　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． 　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ． 射线ＯＣ即为所求． 1、怎样画一个已知角的角平分线 解决问题 S 公路 铁路 (2)猜想: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. P A O B C E D 1、怎样画一个已知角的角平分线 P A O B C E D 1 2 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 2、验证猜想： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：“一个点在一个角的平分线上”。 结论：“这个点到这个角两边得距离相等” 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 3、角的平分线的性质: O C B 1 A 2 P D E PD⊥OA，PE⊥OB ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE 用数学语言表述： 或：∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB ∴PD=PE（角平分线的性质） A C D E B F 例：已知：如图，△ABC中 ∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证：CF=EB。 证明： ∵　AD平分∠CAB 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知） ∴　CD＝DE (角平分线的性质) 在Ｒt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=DE （已证） DF=DB （已知） ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL) ∴ CF=EB （全等三角形对应边相等） 练习1：已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC. B A E D C F ◆证明： ∵AD平分∠CAB DE⊥AB ，DF⊥AC(已知) ∴DE=DF (角平分线的性质) 在Ｒt△BED和Rt△CFD中, 　　 BD=CD （已证） DE=DF （已知） ∴ Rt△ BED ≌Rt△CFD (HL) ∴ BE=FC （全等三角形对应边相等） 练习2：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离 分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。 解：过E作EN⊥OA垂足为N ∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB， EN⊥OA， ∴EM=EN 又∵ EM=3cm， ∴EN=3cm 即点E 到OA的距离为3cm。 E B O A C M N 练习：如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且EM=3cm，求点E 到OA的距离 分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E到OA的距离。 解：过E作EN⊥OA垂