华中科技大学《数理方程与特殊函数》——第一章1.1分解.ppt

1、公共邮箱：math_hust@126.com(密码：123456) 时间：本周三到周五早上8：30-11：30 2、购买练习册（以小班为单位购买，7元/本） 下午2:30-5:30 地点：科技楼822 3、综合成绩： 平时成绩：30%（考勤+作业） 卷面成绩：70% 通知 * 典型的数学物理方程的导出 1.1 弦振动方程与定解条件 1.2 热传导方程与定解条件 1.3 拉普拉斯方程与定解条件 * 1.1 弦振动方程与定解条件 弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典型代表。 一、下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。 给定一根两端固定且拉紧的均匀的柔软的弦，其长度为L。在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，求弦上各点的运动规律。 * 将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题的最本质的特征。 在考察弦振动问题时的基本假设为： 1.弦是均匀的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，弦的线密度 是常数。 2.弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一致， 而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克 （Hooke）定律。（即指在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比） * 3.弦在某一平面内作微小横振动 即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（“微小”是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小） 我们将在上述假定下来导出弦振动方程。 先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形 * 为此，选择坐标系如下 弦的平衡位置为 轴，两端分别固定在 和 处. 表示弦上横坐标为 的点在时刻 时沿垂直于 轴方向的位移。 * 为了求弦上任意一点的运动规律，必须对弦上任取一小弦弧 进行考察。 我们首先证明张力为常数（即与位置与时间无关）。 假设小弦弧 的弧长为 * 利用弧长公式可知： 由假定，弦只作微小振动， 与1相比可以 忽略不计，从而 * 这样我们可以认为这段弦在振动过程中并未伸长， 因此由胡克定律知道， 弦上每一点所受的张力在运动过程中保持不变，即张力与时间无关。 接下来, 我们只须说明张力与位置 无关 * 我们分别把在点 处的张力记作 由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点 处的切线方向。 由假定，弦只作横向振动，因此张力在 轴方向分量的代数和为零， 即有 * 由于小振动： 于是上式可以写成 这就是说，张力也不随地点而异，综上所述，张力是常数，以下记作 * 现在来导出弦的横振动方程. 张力在 轴方向 分量的代数和为 由于小振动： * 应用微分中值定理： 另一方面，由于弦段 很小，其上每点的 加速度相差也不会太大， 因此可用其中一点 处的加速度 代替， * 于是该小段弦的质量与加速度的乘积为 当弦不受外力作用时，应用牛顿第二定律，得 消去 并令 * 上式化为 这个方程称为弦的自由横振动方程。 * 若还有外力作用到弦上，其方向垂直于 轴， 设其力密度为 由于弦段 很小， 其上各点处的外力近似相等， 因此作用在该段上的外力近似地等于 * 同样应用牛顿第二定律，得 消去 并令 则得弦的强迫横振动方程 * 弦振动方程中只含有两个自变量 和 其中 表示时间， 表示位置。 由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为一维波动方程。 类似地可导出二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）， 它们的形式分别为 * 二、定解条件 对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量 所满足的方程还是不够的，还要附加 一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的 初始状态以及边界上的物理情况。 定解条件包括初始条件和边界条件。 初始条件： 表征某过程“初始”时刻状态的条件。 对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在“初始”时刻的位移和速度。 初始位移 初始速度 * 边界条件： 表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。 对于弦振动问题而言，有三种基本类型： 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet） 弦的一端的运动规律已知， 为例，若以 表示其运动规律， 则边界条件可以表达为 特别的， 若 端被固定，则相应的边界条件为 非齐次边界条件 齐次边界条件 以 * 2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 若弦的一端（例如 ）在垂直于 轴的直线 上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界 成为自由边界. 根据边界微元右端的张力沿垂直方 向的分量是 ，得出在自由边界时成立 若边界张力沿垂直方向的分量是t的一个已知函数， 则相应的边界条件为 非齐次边界条件 齐次边界条件 3、第三类边界