华中科技大学《数理方程与特殊函数》——第一章1.2—1.5分解.ppt

* 1.2 热传导方程与定解条件 热传导现象： 一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出热传导方程。 为此，我们用函数 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。 表示物体G 在位置 处及时刻 的温度。 * 热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行： 物体在无穷小时段 内流过一个无穷小面积 的热量 与物体温度沿曲面 法线方向 的方向导数 成正比，而热流方向与温度升高的 其中 称为物体在点 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时， 为常数， 为曲面 沿热流方向的法线. 方向相反，即 * 为了导出温度 所满足的方程, 在物体G内任取 一闭曲面 它所包围的区域记作 则从时刻 到时刻 经过曲面 流入区域 的热量为 其中 表示 对曲面的外法向导数. * 流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 中物理温度从 变化到 所需要的热量为 其中 为物体的比热, 为物体的密度. 如果所考察的物体内部没有热源, 由于热量守恒, * 先对 进行变形 利用奥-高(Gauss)公式 设函数 关于变量 具有二阶连续偏导数, 关于变量 具有一阶连续偏导数, 可化为 * 而 可化为 因此由 移项即得 （利用牛顿-莱布尼兹公式） * 由于 与区域 都是任意取的,并且被积函数 是连续的,于是得 上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程. 如果物体是均匀的,此时 为常数, 记 则得 齐次热传导方程 * 如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有 电流,或有化学反应等情况), 设热源密度(单位时 间内单位体积所产生的热量)为 则在时间间隔 中区域 内所产生的热量为 同样由于热量要平衡, * 其中 非齐次热传导方程 相对应的一维、二维热传导方程可类似写出。 * 二、定解条件 初始条件： 表示初始时刻物体内温度的分布情况 其中 为已知函数。 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet） 设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物体 表面温度函数为 即 * 2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann） 特别地，如果物体表面上各点的热流量为0, 绝热性边界条件 已知物体表面上各点的热流量 也就是说在 单位时间内流过单位面积的热量是已知的， 其中 由傅里叶实验定律可知 是定义在边界曲面S，且 上的已知函数. 则相应的边界条件为 * 1.3 拉普拉斯方程与定解条件 1.三维拉普拉斯(Laplace)方程 (1) 凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连续函数为调和函数. (调和方程) 方程(1)通常表示成 或 拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的分布规律. * 2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程) (2) 方程(2)通常表示成 或 3. 拉普拉斯方程的边值问题 第一边值问题(狄氏问题) * 在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数 要求函数 在闭区域 上连续且在 内调和,在边界 上与给定的函数 重合,即 第二边值问题(诺伊曼问题) 在空间某一区域 的边界 上给定了连续函数 要求函数 在闭区域 上连续且在 内调和,在边界 上法向导数 存在,且有 其中n是外法线方向. * 1.4 基本概念与基本知识 1.古典解:如果一个函数具有某偏微分方程中所 需要的各阶连续偏导数,且满足该方程. 2.自由项:偏微分方程中不含有未知函数及其 各阶偏导数的项. 例如: 齐次偏微分方程(自由项为0) 非齐次偏微分方程(自由项不为0) * 3.叠加原理 考察二阶线性偏微分方程 其中 都是某区域上 的已知函数. 叠加原理 设 是方程(1)中第i个方程的解, (1) * 如果级数 (2) 收敛,其中 为任意常数,并且它还能够逐项 微分两次,则级数(2)是下方程的解 特别地,当方程(1)中的自由项 时,则得相应的 齐次方程为 若 是方程(3)的解,则级数(2)也是方程 (3) (3)的解. 三角函数系 在 上正交。 4.傅里叶(Fourier)级数 * 补充： 三角函数积化和差公式 * 4.傅里叶(Fourier)级数 设周期为 的函数 可展开成傅里叶级数,则 (4) 其中傅里叶系数 满足 (5) * 当 为奇函数时 当 为偶函数时 (6) (7) * 4.两个自变量的二阶微分方程的分类 一般的二阶线性偏微分方程具有如下的形状 (8) 其中 等都是自变量 在区域 上的实函数，并假定他们是连续可微的。 若在区域 上每点 则称方程(8)在每点 为双曲型的；那么也 则称方程(8)在区域内是双曲型的。 * 若在区域 上每点 则称方程(8)在每点 为椭圆型的；那么也 则称方程(8)在区域内是椭圆型的。 若在区域 上每点 则称方程(8)在每点 为抛物型的；那么也 则称方程(8)在区域内是抛物型的。 * 例如： 双曲型 抛物型 椭圆型