附录截面几何性质讲义.ppt

Ⅰ.4 转轴公式 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 Ⅰ.4.1 惯性矩和惯性积的转轴公式 在图中，设截面的面积为A，对x、y轴的惯性矩和惯性积分别为Ix、Iy和Ixy。当坐标轴x、y绕O点逆时针转过角?后，得到一新的坐标系Ox1y1，截面对x1、y1轴的惯性矩和惯性积分别为Ix1、Iy1和Ix1y1 、和。取微面积dA，其在两坐标系Oxy和Ox1y1中的坐标分别为(x，y)与(x1，y1)，则此两坐标间存在如下变换关系： 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 由公式得 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 将三角公式 代入上式，整理后得 同理 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 上式称为惯性矩和惯性积的转轴公式。它表示当坐标轴绕原点旋转时，截面对具有不同转角的各坐标轴的惯性矩或惯性积之间的关系。 若将上式 中的前两式相加，并利用式 ，则有 上式表明，截面对通过一点的任意两正交轴的惯性矩之和为常数，且等于截面对该点的极惯性矩。 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 Ⅰ.4.2 主惯性轴和主惯性矩 由转轴公式可知，当坐标轴绕O点转动时，惯性积将随着角度?的改变而变化，且有正有负。因此，总可以找到一个角度? 0，以及相应的x0、y0轴（如图），使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零，这一对坐标轴就称为O点处的主惯性轴。截面对一点处主惯性轴的惯性矩称为该点处的主惯性矩。 为了确定? 0 ，可令式 为零，即 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 于是可得 由此可解出相差90?的两个角度? 0和? ?0 = ? 0 －90°（如图），从而确定主惯性轴的位置。 分别对?求一阶导数，设?=?0时，能使导数， 若将转轴公式中前两式 同样可以得到 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 可见，截面对通过任一点的主惯性轴的惯性矩（即主惯性矩），是截面对通过该点的所有轴的惯性矩中的最大值和最小值。 利用公式 求出?0，然后代入转轴公式中前两式，经化简后可得主惯性矩的计算公式为 下面说明主惯性矩和主惯性轴之间的对应关系。可以证明，若限定求出的两个主惯性轴的位置角? 0和? ?0 = ? 0 －90°为正的或负的锐角，则当主惯性轴的位置角的符号与截面的惯性积Ixy的符号相反时，截面对该主惯性轴的惯性矩为最大（Imax）；反之，则为最小（Imin）。 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 Ⅰ.4.3 组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴。截面对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。 在计算组合截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩时，首先应确定其形心的位置，然后视其有无对称轴而采用不同的方法。若组合截面有一个或一个以上的对称轴，则通过形心且包括对称轴在内的两正交轴就是形心主惯性轴，再计算形心主惯性矩。若组合截面无对称轴，则可选择适当的形心轴（一般选择平行于各个简单截面之形心主惯性轴的坐标轴），计算截面对该形心轴的惯性矩和惯性积，再确定形心主惯性轴的位置和计算形心主惯性矩。 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 【例Ⅰ.8】 试求图示T形截面的形心主惯性矩。 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 【解】 1）确定截面的形心C的位置。建立如图所示坐标系Oxy，因截面关于y轴对称，所以xC = 0，只需求形心C的纵坐标yC的值。将截面看作由两个矩形组成的组合截面，则有 矩形I A1 = 120×30 = 3600 mm2， y1 = 105 mm 矩形II A2 = 180×40 = 7200 mm2， y2 = 90 mm 形心C的坐标为 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 2）计算形心主惯性矩。因y轴为截面的对称轴，故截面对过形心C的x0、y轴的惯性积等于零，即x0、y轴为形心主惯性轴，截面对x0、y轴的惯性矩Ix0、Iy即为所求形心主惯性矩。由图可知，a1 = 100 mm，a2 = －5 mm，则形心主惯性矩、为 目录 附录Ⅰ 截面的几何性质\转轴公式 * 附录Ⅰ 截面的几何性质 附录Ⅰ 截面的几何性质 计算构件的强度、刚度和稳定性问题时，都要涉及到与构件截面形状和尺寸有关的几何量。本章主要介绍这些几何量的定义、性质及计算