第9章常微分方程初值问题数值解法资料.ppt

第9章 常微分方程初值问题数值解法 1. Euler 公式 2. 改进的欧拉公式 3. 龙格—库塔法 4. 亚当斯法 5. 算法的稳定性及收敛性 §9.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法 §9.5 亚当姆斯 Adams 方法 9.5.2 亚当姆斯预报-校正格式 可同样进行其余 yi 的计算。本例方程的解为 ，从表中看到所求的数值解具有4位有效数字。 龙格—库塔法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用龙格—库塔方法求得的数值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应当针对问题的具体特点选择合适的算法。 以经典的四阶龙格-库塔法(9.20)为例。从节点xi出发，先以h为步长求出一个近似值，记为 ，由于局部截断误差为 ，故有 当h值不大时，式中的系数c可近似地看作为常数。 9.3.6 变步长的龙格-库塔法 在微分方程的数值解中，选择适当的步长是非常重要的。单从每一步看，步长越小，截断误差就越小；但随着步长的缩小，在一定的求解区间内所要完成的步数就增加了。这样会引起计算量的增大，并且会引起舍入误差的大量积累与传播。因此微分方程数值解法也有选择步长的问题。 然后将步长折半,即以为 步长,从节点xi出发,跨两步到节点xi+1,再求得一个近似值 ,每跨一步的截断误差是 ,因此有 这样 由此可得 这表明以 作为 的近似值，其误差可用步长折半前后两次计算结果的偏差 来判断所选步长是否适当 当要求的数值精度为ε时： （1）如果Δε，反复将步长折半进行计算，直至Δε为止,并取其最后一次步长的计算结果作为 （2）如果Δε，反复将步长加倍，直到Δε为止，并以上一次步长的计算结果作为 。 这种通过步长加倍或折半来处理步长的方法称为变步长法。表面上看，为了选择步长，每一步都要反复判断Δ，增加了计算工作量，但在方程的解y(x)变化剧烈的情况下，总的计算工作量得到减少，结果还是合算的。 §9.4 算法的稳定性及收敛性 9.4.1 稳定性 稳定性在微分方程的数值解法中是一个非常重要的问题。因为微分方程初值问题的数值方法是用差分格式进行计算的，而在差分方程的求解过程中，存在着各种计算误差，这些计算误差如舍入误差等引起的扰动，在传播过程中，可能会大量积累，对计算结果的准确性将产生影响。这就涉及到算法稳定性问题。 当在某节点上xi的yi值有大小为δ的扰动时，如果在其后的各节点 上的值 产生的偏差都不大于δ，则称这种方法是稳定的。 稳定性不仅与算法有关，而且与方程中函数f(x,y)也有关，讨论起来比较复杂。为简单起见，通常只针对线性模型方程 来讨论。一般方程若局部线性化，也可化为上述形式。模型方程相对比较简单，若一个数值方法对模型方程是稳定的，并不能保证该方法对任何方程都稳定，但若某方法对模型方程都不稳定，也就很难用于其他方程的求解。 先考察显式Euler方法的稳定性。模型方程 的Euler公式为 将上式反复递推后，可得 或 式中 要使 yi 有界，其充要条件为 即 由于 ，故有 （9.26） 可见，如欲保证算法的稳定，显式 Euler 格式的步长 h 的选取要受到式（9.26）的限制。 的绝对值越大，则限制的 h 值就越小。 用隐式 Euler 格式右矩形公式，对模型方程的计算公式为 可化为 由于 ,则恒有 ，故恒有 因此，隐式 Euler 格式是绝对稳定的（无条件稳定）的（对任何 h 0）。 常微分方程初值问题的求解，是将微分方程转化为差分方程来求解，并用计算值yi来近似替代y(xi)，这种近似替代是否合理，还须看分割区间 的长度 h 越来越小时，即 时， 是否成立。若成立，则称该方法是收敛的，否则称为不收敛。 9.4.2 收敛性 这里仍以Euler方法为例，来分析其收敛性。 Euler格式 设 表示取 时, 按Euler公式的计算结果, 即 Euler方法局部截断误差为： 设有常数 ，则 （9.27） 总体截断误差 （9.28） 又 由于f(x,y)关于y满足李普希茨条件,即 代入(9.28)上式，有 再利用式（9.27），式（9.28） 即 上式反复递推后，可得 （9.29） 设