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2016考研数学二真题及超详细解析(跨考教育-文字版)
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上..当时,以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
(A) (B)
(C) (D)
【答案】(B)
【解析】当时
故从低阶到高级顺序:,选B
(2)已知函数,则的一个原函数是( )
【答案】(D)
【解析】由原函数必连续,故A,C排除。又时,,故选D
(3)反常积分①②的敛散性为
(A)①收敛②收敛 (B)①收敛②发散
(C)①收敛②收敛 (D)①发散②发散
【答案】(B)
【解析】 收敛
发散
(4)设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则
(A)函数有2个极值点,曲线有2个拐点
(B)函数有2个极值点,曲线有3个拐点
(C)函数有3个极值点,曲线有1个拐点
(D)函数有3个极值点,曲线有2个拐点
【答案】(A)
【解析】由两个零点左右都反号,故极值点有两个,
又拐点是的极值点,故拐点有两个。选A
(5)设函数具有二阶连续导数,且,若两条曲线在点处具有公切线,且在该点处曲线的曲率大于曲率的曲率,则在的某个邻域内,有
【答案】
【解析】
(6)已知函数,则
【答案】(D)
【解析】,故
(7)设是可逆矩阵,且与相似,则下列结论错误的是( )
(A)与相似
(B)与相似
(C)与相似
(D)与相似
【答案】(C)
【解析】此题是找错误的选项。由与相似可知,存在可逆矩阵使得,则
此外,在(C)中,对于,若,则,而未必等于,故(C)符合题意。综上可知,(C)为正确选项。
(8)设二次型的正负惯性指数分别为,则( )
(A)
(B)
(C)
(D)或
【答案】(C)
【解析】考虑特殊值法,当时,,
其矩阵为,由此计算出特征值为,满足题目已知条件,故成立,因此(C)为正确选项。
二、填空题:9(14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.的斜渐近线方程为
【答案】
【解析】
故渐近线为
(10)极限
【答案】
【解析】由
(11)以和为特解的一阶非齐次线性微分方程为
【答案】
【解析】令微分方程为
则
故
(12)已知函数在上连续,且,则当时,
【答案】
【解析】由
则
则,故
,故
以此类推,得
,故
(13)已知动点在曲线上运动,记坐标原点与点间的距离为。若点的横坐标时间的变化率为常数,则当点运动到点时,对时间的变化率是_________
【答案】
【解析】令,则
又
则
又
则
(14)设矩阵与等价,则
【答案】2.
【解析】,由与等价,可得,因为
,故当
时,有,这与矛盾,故.
三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【解析】
(16)(本题满分10分)设函数,求并求的最小值
【解析】【解析】当时,
当时,
则
由导数的定义可知,
故
由于是偶函数,所以只需求它在上的最小值。
易知
可知的最小值为。
(17)(本题满分10分)已知函数由方程确定,求的极值
【解析】方程两边对求导
(1)
令,则
方程两边对求导
(2)
令,则
由得,
代入原方程知,令
求
方程(1)两边再对求导:
把代入得
方程(1)两边再对求导:
把代入得
方程(2)两边再对求导:
把代入得
则且,故是极大值点,且极大值为
(18)(本题满分10分)设是由直线围成的有界区域,计算二重积分
【解析】
又区域D关于轴对称,则
则
其中,
又
故
则
(19)(本题满分10分)已知是二阶微分方程的解,若,求,并写出该微分方程的通解
【解析】
又区域D关于轴对称,则
则
其中,
又
故
则
(20)(本题满分11分)设是由曲线与围成的平面区域,求绕轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积
【解析】1)设D绕轴旋转一周的体积为,则
则
设D绕轴旋转一周的表面积为S,则
(21)(本题满分11分)已知在上连续,在内是函数的一个原函数
(1)求在区间上的平均值
(2)证明在区间内存在唯一零点
【解析】
(22)(本题满分11分)设矩阵,且方程组无解,
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求方程组的通解
【解析】
(Ⅰ)由方程组无解,可知,故这里有,或。由于当时,,而当时,。综上,
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