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AM040102 微分中值定理 观察几何图形 图1-1 如图1-1，在两个高度相同的点之 间的一段连续曲线上，若除端点外，它在 每一点都有不垂直于轴的切线，则该曲 线至少存在一点，过该点的切线平行于 轴（过两端点的弦）。 如图1-2，若曲线在内每 一点都有不平行于轴的切线，则在该曲线上 图1-2 至少存在一点，使曲线在该点的切 线平行于过曲线两端点的弦。 如图1-3，若曲线 在内 每一点都有不平行于轴的切线，则在该曲 线上至少存在一点， 点的切线平行于过曲线两端点的弦。 图1-3 几何问题 上述三个几何图形有一个什么共同的几何特征？ 不难知道答案是：在曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线。三个微分中值定理正是这一几何特征在不同条件（主要是曲线方程的不同）下的分析表述结果。分别对应如下： 定理1.1(Rolle中值定理) 设函数满足条件：（1）在闭区间上连续，（2）在开区间上可微，（3）。则在内至少存在一点，使 。 定理1.2(Lagrange定理) 设函数满足条件： (1) 在闭区间上连续，(2) 在开区间上可微。则在内至少存在一点，使得 。 (1.1) 定理1.3(Cauchy定理) 设函数，满足条件：（1） 在闭区间上皆连续，（2） 在开区间上皆可微，（3）。则在内至少存在一点，使得 。 微分中值定理的证明 如何证明Rolle中值定理？图1-1展示水平切线必出现在曲线弧的最高点或最低点处，即函数的最大值点或最小值点处。这启示给我们一条证明思路，证明函数取得最值的点就是我们要找的点( 。 Rolle定理的证明 由 (1) 知，函数必在闭区间[]上取得最大值与最小值。 则≥。 Case I 若=， 则函数在 []上是常数， 因而，这时()内的任意一点都可以选作为点( 。 Case II 若，由 (3) 知，与中至少有一个不等于端点处的函数值。不妨设存在( ( (a， b)，( ，下面往证 。 由(2)知，在( ( (a， b)存在，且f (( ) = M是f (x) 在区间[a，b]上的极大值。所以由Ferma引理立刻得到。 注 (1) Rolle中值定理的几何意义是说：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线。 (2) 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但也不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于的，使得。这就是说定理的条件是充分的，但非必要。 Lagrange定理与Cauchy定理的证明本质上相同，通常都是通过引入辅助函数而化繁为简。为什么要构造辅助函数？怎样构造辅助函数？不用构造辅助函数法行吗？历来是初学者所关注的热点课题。我们试图解决上述问题，并使初学者从整体上对微分中值定理的证明及其相关内容有一个清晰地了解，对证明方法有能力把握。 在此我们给出Lagrange定理的三个不同的容易理解和有代表性的证明方法。对于Cauchy定理的证明，留给读者练习。 证明Lagrange定理，通常都是采用引入一个辅助函数，把适合Lagrange定理的函数，转换成适合Rolle定理的函数的办法。而各种“辅助函数”又往往有所不同，这些“辅助函数”之间有没有内在的联系呢？引入这些“辅助函数”有没有一般规律呢？下面就来讨论这个问题。这里所给出的 “辅助函数”的比较一般的表达式，有助于解答上面的问题。函数 (1.2) 可以作为证明Lagrange定理所引用的“辅助函数”，其中为任意常数。因为容易验证：当满足Lagrange定理的条件时，相应的满足Rolle定理的条件。由于它们都含有任意的常数，所以具有某种一般性，是“辅助函数”的“最简单的”一般形式。每给出一个的具体数值，得一具体的“辅助函数”，对应一个具体的证法。不难看出，将与某些函数复合所得到的函数，也可以作为“辅助函数”。例如：线性函数 、指数函数 以及它们的复合或迭代等，只要其导数不取 值即可。 先说明可以用“分析法”