迭代法求解地震层析成像问题讲义.doc

地 球 物 理 系 反 演 报 告 实验二 迭代法求解地震层析成像问题 （kaczmarz、ART、SIRT） 姓 名： 学 号： 指导教师：邵广周 实验二 迭代法求解地震层析成像问题 （kaczmarz、ART、SIRT） 算法原理 对于线性反问题Gm=d，系统的每一行对应着一个n维超平面，共m个超平面。 Kaczmarz 算法流程： 令 for i=0，1，…，m， 判断解是否收敛，如不收敛，返回步骤 如果Gm=d有唯一解，Kaczmarz 算法将收敛于该解。如果系统有多个解，算法将收敛于与初始模型最接近的那个解。特别地，如果，我们将会得到最小长度解。如果精确解不存在，算法得到的解为最佳近似解。 对于收敛速度问题，当由系统定义的超平面接近正交时，算法收敛速度快。而当超平面接近平行时，算法收敛速度就会非常慢。 ART迭代算法： ART算法是Kaczmarz 算法的一个修正算法。它对Kaczmarz 修正算法进行了一个粗略近似，即将G的第i+1行所有非零元素用1替代。 定义：为第i+1条射线的近似旅行时，则为第i+1条射线的旅行时预测误差。 ART算法将Kaczmarz算法中的修正项用替代，其中为剖分单元格的尺寸，为第i+1条射线经过的单元格总数。因此ART算法的修正公式可写为 该公式可进一步修正为： 其中为第i+1条射线的真实长度。 ART算法流程： 令 for i=0，1，…，m，计算第i条射线经过的单元格总数 for i=0，1，…，m，计算第i条射线的实际长度 for i=0，1，…m-1；j=1，2，…，n，计算 判断解是否收敛，如不收敛，令返回步骤4进行迭代。否则返回估计解 ART算法的主要优点： 1.是节省内存，我们只需保存射线经过的单元格的信息，而不需记录每个单元格内各射线的长度。 2.与Kaczmarz算法相比减少了乘法运算的次数。 缺点：计算精度略逊于Kaczmarz算法。 SIRT迭代算法 SIRT算法是ART算法的一个变种，其基本思想是将经过第j个单元格的所有射线的修正量都计算出来，然后取所有射线修正量的平均值作为模型参数的修正量。具体算法如下： SIRT算法流程： 令 for j=0，1，…，n，计算第j个单元格经过的射线总条数 for i=0，1，…，m，计算第i条射线经过的单元格总数 for i=0，1，…，m，计算第i条射线的实际长度 令 for i=0，1，…m-1；j=1，2，…，n，计算 for j=1，2，…，n，令 判断解是否收敛，如不收敛，令返回步骤5进行迭代。否则返回当前解。 结果的方程组：，具体数值如下： 其中，计算精度为：。 2、计算结果 Kaczmarz方法： ART方法： SIRT方法： 三种方法均方根误差分别为：0.003255,0.003255,0.051301 迭代次数均为：100000（设置的最大迭代次数为100000） 结果分析 对比上面结果，可看出，对于该层析成像模型，Kaczmarz、ART、SIRT反演算法对介质的速度场的反演结果与真实模型对比较相似。Kaczmarz、ART算法精度均较高，而SIRT对该模型反演效果比上两种略差。但ART、SIRT法计算次数较少，节省运算内存和运算时间。通过本次实验，我对三种方法有了一定的了解，知道了它们的各自的优缺点，但还是对它们的理解不够，今后还要好好学习。