相似三角形的判定方法课程.doc

(一)相似三角形 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个(或几个)三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； 相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； 相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 相似比具有顺序性．例如ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则A′B′C′∽△ABC的相似比，它们全等时，才有k=k′=1． 相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，两边，的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： 　　DE∥BC，ABC∽△ADE； （双A型） ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； 有了预备定理后，在解题时不但要想到 “见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”． (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定： 判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似．： 有平行线时，用预备定理； 已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2； 已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP． 如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由. 如图AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，则图中相似三角形的对数有　　　　　　　对。例4、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°， EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。 求证：(1)△AME∽△NMD (2)ND2=NC·NB 　　由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似； 　　如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．如图，可简单记为：在RtABC中，CDAB，则ABC∽△CBD∽△ACD． 特殊情况： 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似。 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AAS（ASA） HL 相似三角形 的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等 一条直角边与斜边对应成比例 二、重点难点疑点突破 1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧 　　正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法： 　　(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边； (2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形： 学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，