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§微積分基本定理 主題1：微積分基本定理 設是區間上的連續函數﹐而是定義在區間上的連續函數且在區間可微分，又滿足＝，，則dx＝－。 上面的微積分基本定理，把定積分的問題轉化成微分的逆問題，即找出一定義在區間上的連續函數，使在區間可微分且對，＝，稱為的一反導函數，以符號表示，稱為的不定積分。 因＝，n1 故，n1的一反導函數是 ＝的一反導函數是。 如果是 的一反導函數，則對任意常數，＝＋也是的一反導函數，不影響到定積分的值，因為 dx＝－ ＝〔＋〕－〔＋〕 ＝－。 dx＝＝－。 若是 的一反導函數﹐則＋也是的一反導函數，這是因為常數函數的導函數為零。反過來，導函數為零的連續且可微分函數是一常數函數。這是均值定理的另一運用。 主題2：常數函數的判別定理 1.若函數 是區間上的連續函數且在區間可微分且對所有x，＝0﹐則 在區間是常數。 【證】設u﹐v是區間的兩數﹐滿足u＜v，因 在區間可微分﹐故在區間必也可微分且在區間是連續函數，利用均值定理﹐存在c，使得－＝，但 ＝0﹐使得－＝0。即＝，f 對區間〔a﹐b〕的任意兩數u﹐v的函數值相同﹐因此f必是一常數。 定這常數是c﹐因 在區間連續﹐而有＝＝c＝c， 且＝＝c＝c﹐ 得證 f 在區間是常數。 2.若函數，都是定義在區間上的連續函數且在區間可微分﹐又對x，＝，則＝＋c，c是常數。 【證】設＝－，則是區間上的連續函數且對所有x，＝－＝0，推出是常數c，＝＋c。