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吉林大学珠海学院 教 案 2011 ～2012 学年第 2 学期 系(中 心) 公共基础课教学与研究中心 教 研 室 数学教研室 　 课 程 名 称 高等数学选修二（考研辅导） 主 讲 教 师 杨景春 吉林大学珠海学院教务处制 教 案 讲授章节 第一讲 函数、极限、连续 授课时数 10学时 教学目的： 通过本次课的学习，使学生理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示， 掌握向量的线性运算，了解两个向量垂直、平行的条件。掌握单位向量，方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 教 学 内 容（讲授提纲） 第一讲 函数、极限、连续 一、内容提要 1.极限 1)极限的定义 (1)数列极限 当时,有. (2)函数极限 当时,有. ,当时,有. (3)重要关系 . . 对满足,的数列都有. ,其中. 2)极限的性质和运算法则 (1)有界性 若收敛,则有界. 若,则存在,在内有界. (2)保号性 若,则存在,在内. 推论 若存在,在内有,且,则. (3)极限的四则运算法则 ,,. (4)复合函数的极限 若,且,又,则 . 3)极限存在准则和两个重要极限 (1)单调有界原理 若数列单调有界,则收敛. (2)夹逼准则 若三个数列满足且,则. (3)两个重要极限 ; , . 2．无穷小量定义，性质和阶的比较 1）无穷小量 若，则称为时的无穷小量. 2)无穷小的性质 (1)有限个无穷小的和差积均是无穷小. (2)无穷小与有界量之积仍是无穷小. 3)无穷小阶的比较 设,且, 若,称是的高阶无穷小,记. 若,称与是同阶无穷小;当时,称与是等价无穷小,记 ~. 若(),称是的阶无穷小. 4)重要的等价无穷小 时， , , , ,, , ~. 5)求积,商极限时的等价无穷小代换 设在同一极限过程中,,且存在(或为),则. 6)洛必达法则 (1)(型)设,和在内可导,且,(或),则. (2)(型)洛必达法则对型极限也成立. 3.函数的连续性 1)连续和间断 (1)在点连续. (2)在点右连续;在点左连续. (3)在点连续在点既左连续又右连续. (4)设在内有定义,不是的连续点,则称是的间断点. (5)间断点分类 设是的间断点,如果存在,则称为第一类间断点,否则称为第二类间断点;若,则称可去间断点,若,则称为跳跃间断点;若至少有一个不存在,即第二型间断点又可分为无穷型和震荡型. 2)闭区间上连续函数的性质 (1)在上有界,并有最大、小值,,使, (2)(介值定理),使. (3)(零点原理)若,则,使. 二、典型例题 1)单选题 例1当时,变量是( ) (A)无穷小 (B)无穷大 (C)有界但不是无穷小 (D)无界但不是无穷大 解 选(),因为取数列则 , ， 这表明当时无界但不是无穷大. 例2函数在区间( )内有界. (A) (B) (C) (D) 解 选().由于是间断点,其中是无穷型间断点,因此,在的邻域内无界;而是的跳跃间断点,是的连续点,故在内有界. 例3设对任意的,总有,且则( ) (A)存在且等于零 (B)存在但不一定等于零 (C)一定不存在 (D)不一定存在 解 应选(D).由题设知,再由及夹逼准则,有,从而存在与否取决于是否存在. 例4把时的无穷小量排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排序是( ) (A) (B) (C) (D) 解 应选(B),由洛必达法则,有 , , , 故阶最底,的阶最高. 例5当时,与等价无穷小量是( ) (A) (B) (C) (D) 解 应选(B).因为当时;;,仅. 例6曲线的渐近线的条数( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解 应选(D) ,是其一条垂直渐近线, ,因此是其一条水平渐近线, 而 =,因此还有一条倾斜渐近线. 例7设均为非负数列,且,则必有( ) (A)对任意成立. (B)对任意的都成立. (C)极限不存在. (D)极限不存在. 解 选(D).由极限的不等式知(A),(B)均不正确,而极限. 例8函数在[]上第一类间断点是( ) (A)0 (B)1 (C) (D) 解 应选(A).,同样 . 例9设,其中是有界函数,则在处( ) (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续且不可导 (D)可导 解 应选(D).,在连续,, 由于 ,在点可导. 2)填空题 例1设,则.