常数倍数律.ppt

範例 11　營收的模型 （解） 所以，在 2006 年年底，麥當勞的營收是以每年約$1941 百萬美元的速度增加，如圖 3.17 所示。 P.3-19 圖3.17 第三章　微分 檢查站 11 從 2000 到 2010 年，微軟公司的每股股價 S (美元) 是以S ＝ 0.0330t2 ＋ 0.208t ＋ 2.13，0 ≤ t ≤ 10 為模型，其中 t 表示年，t ＝ 0 代表 2000 年。在2002 年微軟的每股股價的變化率為何？(資料來源：微軟公司) P.3-19 第三章　微分 總結（3.2節） 常數律，參考範例 1。 乘冪律，範例 2 和 3。 常數倍數律，參考範例 4、5、6 及 7。 和律，參考範例 8。 差律，參考範例 8。 一個如何用微分分析一家公司的年營收變化率的實例 (範例11)。 P.3-19 第三章　微分 範例 4　使用乘冪律和常數倍數律 （解） b. 首先改寫 f(t) 為 　然後使用常數倍數律和乘冪律而得 P.3-16 第三章　微分 檢查站 4 求各函數的導數。 a. y ＝ 4x2 b. f(x) ＝ 16x1/2 P.3-16 第三章　微分 常數倍數律 由此可發現將常數倍數律和乘冪律合併成一個法則，在微分時大有幫助 例如，對範例 4(b) 的函數，應用以上的法則可得 P.3-16 第三章　微分 常數倍數律 下一個範例中的三個函數雖然簡單，但在微分包含常數乘 x 的一次方函數時，常會產生錯誤。記住 P.3-16 第三章　微分 範例 5　應用常數倍數律 求各函數的導數。 原函數　　　　　　 導數 P.3-16 第三章　微分 檢查站 5 求各函數的導數。 P.3-16 第三章　微分 常數倍數律 在使用常數倍數律和乘冪律時，小括號扮演重要的角色。在範例 6 中，務必了解使用小括號的數學慣例。 P.3-16 第三章　微分 範例 6　在微分時使用小括號 P.3-16~3-17 第三章　微分 檢查站 6 求各函數的導數。 P.3-17 第三章　微分 常數倍數律 當微分包含根號的函數時，應將函數改成有理指數的形式。例如， 將 改寫成 y = x1/3， 以及將 改寫成 y = x－4/3 。 P.3-17 第三章　微分 範例 7　根號函數的微分 P.3-17 第三章　微分 檢查站 7 求各函數的導數。 P.3-17 第三章　微分 和差律 下面的兩個法則可能認為理所當然，而且也可能毫無考慮地使用過。例如，要微分 y ＝ 3x ＋ 2x3 時，可能自然寫成 y? ＝ 3 ＋ 6x2 而不會質疑答案。函數和或差的微分，由和差律得知是可逐項微分的。 P.3-17 第三章　微分 和差律 P.3-17 第三章　微分 和差律（證明） 令 h(x) ＝ f(x) ＋ g(x)，可證明和律如下所示。 P.3-17~3-18 第三章　微分 和差律（證明） 所以， 同理可證差律。 P.3-18 第三章　微分 和差律 和差律可延伸應用到有限個函數的和或差。例如，如果 y ＝ f(x) ＋ g(x) ＋ h(x)， 則 y? ＝ f? (x) ＋ g? (x) ＋ h? (x)。 P.3-18 第三章　微分 學習提示 回想 3.1 節的範例 6，這個範例是求兩個函數之差的導數，用差律驗證答案。比較在範例 8(b) 得到的結果。 P.3-18 第三章　微分 範例 8　使用和差律 使用本節的四個微分法則，就可微分任一多項式函數的導數。 P.3-18 第三章　微分 檢查站 8 求 各函數的導數。 　a. f(x)＝2x2＋5x 　b. y＝x4－2x P.3-18 第三章　微分 範例 9　求圖形的斜率 求 f(x) ＝ x3 － 4x ＋ 2 的圖形在點 (1, －1) 的斜率。 P.3-18 第三章　微分 範例 9　求圖形的斜率（解） f (x) 的導數為 f? (x) ＝ 3x2 － 4 所以，f 的圖形在 (1, －1) 的斜率是 斜率 ＝ f? (1) ＝ 3(1)2 － 4 ＝ 3 － 4 ＝ －1 如圖 3.15 所示。 P.3-18 第三章　微分 範例 9　求圖形的斜率（解） P.3-18 圖3.15 第三章　微分 和差律 範例 9 說明如何用導數來決定圖形的形狀，f(x) ＝ x3 － 4x ＋ 2圖形的略圖可能令人錯以為點 (1, －1) 是這個圖形的極小點，然而在知道這個點的斜率是 －1 之後，極小點 (斜率是 0) 就應該在比較右邊的位置 (在 4.2 節就會學到求極小和極大點的技巧)。 P.3-18