计算固体计算力学-第三章材料非线性问题-2讲义.ppt

本章结束！ * 正割模量：由应力-应变曲线上的指定点向原点引一直线，该直线的斜率即为正割模量。正割模量就是该点相应的应力与应变之比，又称正割弹性系数。对高分子材料因应力-应变曲线的非线性，为了比较某应力下的模量值进行相对比较，往往使用该量。 3）普朗特耳-路斯（Prandtl-Reuss）方程——理想刚塑性材料 普朗特耳-路斯方程是应变硬化材料流动理论的应力应变增量关系的一种特殊形式。 则理想弹塑性材料的应力应变关系为 同样，可以写出二个变分原理的泛函。 4）圣维南-李维-密塞斯（St. Venant-Levy-Mises）方程 ——刚塑性材料 全部处于塑性状态中的刚塑性材料，它的变分原理略有不同，讨论问题是 （1）平衡方程 （2）屈服条件 （3）应力应变速度关系 （4）应变速度与位移速度关系 （5）不可压缩条件 （6）边界条件 第一变分原理（马克夫（Марков）原理）：在满足应变速度位移速度关系式， 不可压缩条件和边界位移速度已知条件的一切 中，使泛函 为最小的，必为本问题的正确解。 第二变分原理（希尔（Hill）原理）：在满足平衡方程式，屈服条件和外力已知 的边界条件的一切容许的 中，使泛函 最小的，必为本问题的正确解。 九、弹塑性全量有限元分析 弹塑性全量有限元法与其线弹性有限元法的差别，在于单元刚度矩阵计算不同。 弹塑性矩阵[Dep] 弹性矩阵[De] 1. 有限元方程 有限元法常用的全量应力-应变关系矩阵形式 线弹性阶段： 非线弹性阶段： 单元刚度矩阵： 有限元方程： 式中， 2. 求解方法 求解全量有限元方程一般采用初应力法、初应变法和全量型的M-N-R法 （1）初应力法 假设有一个初应力 ，使其非线性应力-应变关系 与其线性应力-应变关系 等效。 假设外载荷仅考虑常量，即 将 代入单元平衡方程，则有 组成整体平衡方程，即 式中， 相当于在单元上给出了一个初应力场，并将这种场转换成等效结点载荷。 建立如下迭代计算公式 （2）初应变法 假设有一个初应变 ，使其非线性应力-应变关系 与其线性应力-应变关系 等效，并且 假设外载荷仅考虑常量，即 将 代入单元平衡方程，则有 组成整体平衡方程，即 式中， 相当于在单元上给出了一个初应力场，并将这种场转换成等效结点载荷。 建立如下迭代计算公式 （3）两种方法比较 初应力法和初应变法是求解材料非线性问题的两种基本方法。 它们的共同优点是计算过程简单，计算量小，特别是对材料非 线性中的蠕变问题，初应变法更为有效。但这两种方法都不能 用来求解几何非线性问题，即使是材料非线性问题，若材料是 （或接近）理想塑性，则求解时也不会收敛或收敛速度极慢。 十、弹塑性增量有限元分析 1. 有限元方程 式中， ——过渡弹塑性矩阵（或称为加权平均弹塑性矩阵）。 当载荷增量 足够小时，相应的应力-应变关系为 有限元方程为： 式中： 有限元方程为： 式中： （弹性状态） （过渡状态） （塑性状态） 称为整体结点位移增量； 称为整体结点载荷增量； 2. 弹塑性矩阵的显式 多数工程结构的弹塑性问题一般是指在Mises屈服条件下各向同性强化材料的 弹塑性问题。这里仅从下式讨论 的显式，并且在推演所涉及的应力和应变均为工程应力和应变。 （1）三维空间问题的 三维空间弹性矩阵 由下式给出 对 称 为 为了推导简便并考虑矩阵计算的规律性，将上式中所涉及的导数，均用应力偏量表示。 又因为 则： 式中： （2）平面问题的 对于平面应力问题， 式中： 对于平面应变问题， 平面应力与平面应变变换公式 （3）过渡状态的 也称为加权平均弹塑性矩阵 式中m为比例因子，按材料强化规律及其具体的屈服条件可确定。 3. 求解过程 （1） 起始计算 以线弹性解作为迭代计算的起始值，计算出单元结点初始位移、初始应变和应力。 （2） 一般计算 主要计算等效应变增量、等效应力增量、加权平均数。 （3） 首次迭代计算 载荷增量计算，注意判断单元所处的状态。 （4） 循环迭代计算 在首次迭代计算的基础上，即在单元位移、应变和应力达到一个新的水平上进行新的循环迭代计算，目的在于对载荷增量数形成具体的迭代计算公式。。 具