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第3.4节 向量组的极大 线性无关组 * 主要内容: 一．等价向量组 二．向量组的极大线性无关组 三 ．向量组的秩与矩阵秩的关系 一、等价向量组 定义1：如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。 即 自反性：一个向量组与其自身等价； 对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价； 传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。 等价向量组的基本性质 定理： 设 与 是两个向量组，如果 (2) 则向量组 必线性相关。 推论1： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 (1) 向量组 线性表示； 可以由向量组 二、向量组的极大线性无关组 定义2: 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 例如：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理： 三、向量组的秩与矩阵秩的关系 定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 的 秩为2。 1. 向量组的秩 （4）等价的向量组必有相同的秩。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 线性无关 向量组 线性相关 （3）如果向量组 可以由向量组 线性表示，则 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。 2. 矩阵的秩 2.1. 行秩、列秩、矩阵的秩 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 的行向量组是 可以证明， 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 即 可知 即 线性无关； 而 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 线性相关。 所以向量组 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是 可以验证 线性无关， 而 所以向量组 的一个极大无关组是 所以向量组 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。 问题：矩阵的行秩 ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 按行分块，设 （1）对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行 显然，向量组 可以由向量组 线性表示； 而向量组 也可以由向量组 线性表示。 所以矩阵 的行向量组与 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， 的行秩＝ 的行秩， 即A的行秩不变。 （3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 显然， 中的行向量组 可以由 的行向量组线性表示 而